最近の研究から
量子探索とネットワークの協奏――フラクタル格子上のスケーリング指数
2022 年 77 巻 8 号 p. 541-546
詳細
2022 年 77 巻 8 号 p. 541-546
人間同士の関係やインターネット上の関係など現実世界には複雑なネットワークがあらゆるところに存在する．ビッグデータなどのデータ科学の進展と相まってこの複雑ネットワークの理解は急速に進んでおり，スケールフリー性・スモールワールド性だけでなく，お馴染みのフラクタル性などが存在することもわかってきた．さらに現在，量子探索のアルゴリズムが様々なネットワーク構造に適用され，ネットワークと量子探索が織りなす関係の理解が進んでいる．
フラクタル構造に着目した場合，その構造を特徴づける指標にフラクタル図形の次元というキーワードがある．ユークリッド次元dE・フラクタル次元df・スペクトル次元dsがそれである．フラクタル次元とスペクトル次元は，ユークリッド次元と違い非整数値になる特徴をもつ．フラクタル図形を生成するとき一辺を何分割するかというスケーリング係数sも特徴量の一つだ．
ネットワーク上の量子探索を理解するうえでは，ターゲットを見つけ出すための計算時間Qが格子点数Nに対してどのようにスケーリングするかという問題が重要になる．特に，整数次元dの格子ではQ≥max｛ N 1/d, √N｝となるのだが，非整数次元の場合にこのdはユークリッド次元dEになるのだろうか？ フラクタル次元dfやスペクトル次元dsなのだろうか？ そもそもこのような関係式自体が存在するのだろうか？ 2010年にPatelとRaghunathanが，シェルピンスキーギャスケットとシェルピンスキー四面体を用いて提案した一つの仮説は，スペクトル次元dsによるQ≥max｛ N 1/d, √N｝である．
著者らはシェルピンスキーカーペットや拡張されたフラクタル格子で幅広く調べ，仮説どおり確かにスペクトル次元dsによるスケーリングであることを確認した．計算時間のスケーリング指数はd＝2を境にして切り替わるが，この2次元近傍ではべき則から外れることもわかっている．スピン系などの相転移と同様，量子空間探索でも2次元が臨界的な次元になっている点は大変興味深い．
著者らのこの分野でのもう一つの貢献として，有効的計算時間に現れるスケーリング仮説の発見がある．ターゲットサイトでの最大発見確率Pmaxとターゲットを発見する計算時間Qは格子点数に対してそれぞれPmax∝N －αとQ∝N β（ただしα，β>0）のようにべき的に振る舞う．確率から見ると試行回数1/Pmax程度でターゲットの発見を期待するが，量子振幅増幅の議論から試行回数は1/√Pmax程度でよい．これとオラクルの演算回数としての計算時間Qを合わせて，有効的計算時間Qeff≡Q/√Pmaxを新たな指標として導入してみよう．
この有効的計算時間はQeff∝N c（ただしc＝β＋α / 2）とスケールされるが，このスケーリング指数cが，フラクタル図形の特徴量の組み合わせ
<inline-graphic xlink:href="abst-p541.png"/>
で数値誤差の範囲内で高精度に与えられることがわかった．この仮説は，フラクタル構造を特徴づけるユークリッド次元・フラクタル次元・スペクトル次元・スケーリング係数が一つにまとまって現れるという意味でとても興味深い関係式になっている．現在のこのスケーリング指数に数学的証明は存在せず未解決問題となっている．
