世代の起源 Heisenberg方程式からSchroedinger方程式へ

Abstract

We changed a mass formula obtained by the Heisenburg Method into one expressed in Schroedinger style and tried to clarify its physical meanings including of the origin of generations.

1 初めに

この小論では，3世代の電子類(荷電LEPTON 即ちe， muh， tau)の質量のみを扱い「世代」の起源を探求したいと思います． e,muh,tauは，同じ電子類の仲間で，質量のみが違い電荷，Spinが全て同じです． 従って，これら3者は，一つの「世代」をつくると言われています．「世代」の存在は大きな謎と言われており，その根本的な解明は，大変難しいでしょうが，この小論でその第一歩を見つけたいと考えます．上記の3世代粒子の質量の間には，7桁にも及ぶ極めて精密な関係が見出され，「小出の式」として知られています [1] [2]．   

$\begin{array}{c}m1+m2+m3\\ =\left(\text{2}/\text{3}\right){\left(\sqrt{m1}+\sqrt{m2}+\sqrt{m3}\right)}^2\end{array}$(1)

.

3世代の電子類は，S3の対称性を持つので(1)式は，cyclicな3 × 3行列   

$\left[\begin{array}{ccc}A& B& C\\ C& A& B\\ B& C& A \end{array}\right],$(2)

.を用いた固有Vector (Heisenberg)方程式を用いて調べることができます [3]．(2)は具体的には，   

$\begin{array}{c}\Gamma (\eta ,\delta )=\\ \left(\begin{array}{ccc}1& \eta exp(+i\delta )& \eta exp(-i\delta )\\ \eta exp(-i\delta )& 1& \eta exp(+i\delta )\\ \eta exp(+i\delta )& \eta exp(-i\delta )& 1\end{array}\right),\end{array}$(3)

_.(3)式に，つぎの(4)式の固有Vectorを掛けて固有方程式を解きます．   

$|n⟩=\left(\begin{array}{c}1\\ {\alpha }^{+n}\\ {\alpha }^{-n}\end{array}\right),n=1,2,3$(4)

;.   

$\alpha \equiv exp(2i\pi /3).$

固有方程式は，   

$\begin{array}{c}\Gamma (\mu ,\eta ,\delta )|n⟩=\lambda n|n⟩\\ =\mu (1+2\eta cos(\delta +2n\pi /3\left)\right)|n⟩,\end{array}$(5)

.上記固有方程式の解は， 下の(8)の式ようになります．   

$\lambda n\equiv \sqrt{mn}$(6)

と置きます．   

$$(7)

$\mu \equiv (\lambda 1+\lambda 2+\lambda 3)/3$(7)

;   

$\eta =\sqrt{2}/2,\delta =2/9.$

  

$\begin{array}{c}\sqrt{mn}/\mu \equiv \lambda n/\mu \\ =1+2\eta cos(\delta +2n\pi /3)\end{array}$(8)

.   

$n=1,2,3.;\pi /3\equiv \text{c}.$

ここで，$\eta$と$\delta$は， parameterで3世代の質量を再現するように経験的に得られたもので，上では分数で表現しました [3]． 式(8)(無次元)を使えば，(1)式を数学的に証明できます．

数学的証明のみでは自然科学としては不足で，これらparameterの物理的意味の解析が必要ですが，まだ未解決の問題です．

単なる$m$なら，Dirac方程式になるはずですが，$\sqrt{m}$ であるので，以下の(9),(10)のような2階の相対論的Schrodinger方程式を仮定します [4]．

n = 1,2,3は，3つの世代を表す世代数です．

n = 0の時cosの中身は$\delta$となります．

2 計算

(8)式の第2項を， Schroedinger方程式   

${\text{Ψ}}^{*}\text{HΨ}={\text{Ψ}}^{*}\text{EΨ}$(9)

,    H = K+P .    (10)    のPであると仮定します．

すなわち，   

$\text{P}=2\eta \left(expi\right(\delta +nc)+exp-i(\delta +nc\left)\right)/2$(11)

.上の式のKは，Kinetic Energy，PはPotential Energy を表します．

つまり，「世代」を解明するために，粒子(電子)にあえてScalorな内部構造を持たせます．

粒子は，相対論的であるとします． 以下， 波動関数(場)は，    Ψ = exp(ix)exp(iy)exp(iz)exp(iu) .    (12)    であるとします． この場を仮定すると，後述の(14)式ようにKinetic Energyが1になります．

x,…,u は座標です．

Kinetic Energyは，   

$K=-\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial u^2}\right)$(13)

.で与えられます．

(12)と(13)から，   

${\text{Ψ}}^{\divideontimes }\text{KΨ}=1$(14)

.を得ます．

(14)式のように，経験式(8)の第1項の1を表す事ができました．

これで，少なくとも上記の諸仮定を認めれば，固有Vector方程式が相対論的Schroedinger方程式で表されたことになるでしょう [4]．

上に述べたような，2階の偏微分で表されたKinetic EnergyにPotential Enegyを加える表式は，量子化学でも見られます [5]．

3 考察

難問と言われる「世代」を説明する為に，内部構造が無いとされる電子類の表式に，経験値を再現する為にScalorなPotentialを付け加えました．「世代」の起源をPotentialの相違に帰した事については，更に議論の余地があるでしょう．

n = 0の場合の実測値は，得られておりません．その意味は，「世代」の存在と共に， 質量を与えるHiggs Bosonの場によって将来解明されるでしょう．

世代の量子数は，有限で1，2，3の3個しか有りません．0を仮に入れるとしても，せいぜい4個です．これは，見かけ上多数ある水素原子の量子数と比べると奇異なことです．空間が，3次元であり，時間が1次元である事と関係があるのでしょうか．此の事も，将来の課題でしょう．

Parameter η,δの物理的意味は，今の所不明ですが，それらの意味が明らかになった時， 何故3世代があるかの疑問に対する解答は，大きく前進するでしょう．

その解答は，電子類と同じく，3世代を持つneutrino，quark 2種にも適用されるでしょう．

参考文献

• [1]   Y. Koide, Lett., Lett. Nuovo Cim., 34, 201 (1982).
• [2]   Y. Koide, Phys. Lett. B, 120, 161 (1983).
• [3]   C.A.Brannen, http:brannenworks.com/MASSES 2.pdf.(2006).
• [4]   W. N. Cottingham, D. A. Greenwood, An Introduction to the Standard Model of Particle Physics, Cambridge University Press (1998),sec.3.5.
• [5]   H.Hosoya, RyoosiKagaku,Saiensusha(1980), sec.2.7.