巻頭言

PTEPの現状と今後

目次

表面物理学は，物理学の諸分野の中でも「直接見ること」を求め発展してきた点にその独自性がある．その象徴が，走査型トンネル顕微鏡（1986年ノーベル物理学賞）を用いた表面原子構造の観測であろう．一方，光励起で放出される電子を利用した光電子分光（1981年ノーベル物理学賞）により，エネルギー・運動量・スピンすべての情報を分解したバンド構造を直接観測することもできる．物理学の抽象的な概念を，疑いようのない形で描き出すことに表面物理学の醍醐味がある．

近年の表面物理学での一大トピックがトポロジカル物質の研究である．トポロジカル物質は「ねじれた」電子状態をもち，そのねじれに対応した特別な電子状態を表面に作り出す．このトポロジカル表面状態は，系の対称性によって不純物から保護され，無磁場下でスピン流を担う驚くべき性質をもつ．表面の数原子層に局在するこの電子状態の研究において，光電子分光による直接観測が大きな力を発揮し，多様なトポロジカル相の存在が実証されてきた．

さらに，トポロジカル物質の研究で重要な役割を果たしてきた元素がビスマスである．安定元素中最大の原子質量をもつビスマスは巨大なスピン軌道結合を有する．これを「ねじる」原動力として，多彩なトポロジカル物質が作り出されている．一方でBi単結晶自体は，その強すぎるスピン軌道結合によってねじれが戻ってしまい，通常の物質であるとされてきた．しかし近年異議が唱えられ，我々はビスマス薄膜中に形成される量子井戸状態を活用して，実験的に困難を極めるビスマスのトポロジー決定に成功した．最近のさらなる理論・実験研究とともに，ビスマス表面において多様なトポロジカル相が実現していることが解明されつつある．

ビスマス薄膜中の量子井戸状態は，それ自体が表面物理学の歴史的なトピックでもある．半金属であるビスマスのバンドが量子化されることにより，ある膜厚を境に絶縁体化することが半世紀前に予言されていた．電気伝導や光電子分光による測定が行われてきたが，先行研究の間に奇妙な矛盾が残っていた．我々は，高品質なビスマス薄膜の測定により，ビスマスのバンドが量子化によって絶縁化する過程を描き出すことに初めて成功した．量子化モデルと著しく異なる膜厚依存性，そして準位の縮退の観測により，表面状態由来のクーロン反発効果によって薄膜内部の絶縁化が促進されることを明らかにした．この描像は先行研究の矛盾を解決し，表面状態の電子相関による新たなサイズ効果を提示する．薄膜内部の絶縁相が実証されたことで，トポロジカル表面状態の伝導測定が，そしてさらには表面における量子極限での伝導測定が展開できることとなる．奇しくも最近，走査型トンネル顕微鏡により，ビスマス表面における多体電子相が発見されたばかりである．

光電子分光による直接観測を駆使することで，トポロジカル相や絶縁体相の実験的検証について進展がもたらされた．だがこれは次の出発点である．存在が明らかになったトポロジカル相や多体電子相がビスマス表面でどのような応答を示すのか．物性物理学の黎明期から研究されてきたビスマスは，依然新たな物性探求の場を提供し続けている．

原子核はどのような姿をしているのだろうか．液滴とする描像，それぞれの核子（陽子・中性子）が平均ポテンシャル中を“運動”する独立粒子描像，また原子核中に複数の核子のかたまり（房）が浮かんでいるクラスター描像などが知られている．多様な貌をもつ原子核の姿を捉える方法のひとつが，ノックアウト反応である．この反応では，高速の粒子によって原子核の構成要素が叩き出される．叩かれた粒子以外の状態が乱されなければ，叩き出された粒子が，原子核中にどの程度存在し，どのように運動していたかがわかる．核子あるいはクラスターを叩き出すことで，独立粒子描像あるいはクラスター描像で捉えた原子核の姿が浮かび上がってくる．

天然に存在する原子核（安定核）に高エネルギーの電子を撃ち込んで陽子を叩き出す反応――（e, e′p）反応――は，反応を引き起こす相互作用がよくわかっているため，原子核中の陽子がもつ一粒子構造の理解に大きく貢献した．そして最近，陽子を入射粒子とする同様の反応――（ p, 2p）反応――が，（e, e′p）反応に比肩するクリーンな反応であることが示された．陽子を用いれば，原子核中の中性子やクラスターを叩き出す道が開けてくる．さらに，陽子と中性子のバランスが崩れた原子核（不安定核）の研究でも活躍が期待される．不安定核を入射ビームとして水素標的に撃ち込むことで，安定核と同様に様々なノックアウト反応を測定することができるからである．

安定核の研究により，核内の核子を独立粒子描像によって描ける度合いは約65%であることが知られている．不安定核ではどうだろうか?　これに関しては，数多くの議論がなされてきたが，陽子による核子ノックアウト反応――（ p, pN）反応――の結論は，不安定核か安定核かで独立粒子性の度合いに大きな違いはないというものであった．

（ p, pN）反応は，不安定核の魔法数（原子核を特別安定化する核子の数）の研究にも活用されている．不安定核と安定核では魔法数は変化しうることが知られているが，⁷⁸Niという中性子が過剰な原子核は，陽子数の28も，中性子数の50も，安定核と同様に魔法数の意味をもつことが明らかになった．このほか，魔法数と関連した面白い話題として，陽子の数が1つ変わるだけで，魔法数をもった原子核の安定度が著しく変化するというものがある．これも（ p, 2p）反応によって見出された．

独立粒子性が崩れるのは，平均ポテンシャルに繰り込めない相互作用のためであり，その帰結として現れるもののひとつが，原子核のクラスター構造である．特に有名なのがα粒子（ヘリウム4原子核）のクラスターであるが，近年では，空間的に局在する2中性子（ダイニュートロン）や，重陽子と同じ量子数をもつ陽子–中性子対なども盛んに研究されている．これらのクラスター構造を実証する手段としても，陽子によるノックアウト反応が大いに活躍している．

ノックアウト反応は，直観的にもわかりやすく，また理論の不定性も小さい，強力な研究手法である．原子核の独立粒子的側面とクラスター構造的側面の両方にアクセスできることも重要である．前者を多体相関を免れて残存する成分，後者を独立粒子性を崩す多体相関が発現したものと捉えれば，両者はまさにコインの裏表であるといえる．それらの相補的な知見を統合することで，安定核・不安定核の真の姿が明らかになると期待される．

L. Onsagerによる二次元イジング模型の厳密解の発見以来，臨界現象は統計物理学における中心的テーマの一つであり続けてきた．このような「古典的な」テーマに対する，数学的なアプローチは，最近20年余りの間に著しい発展を遂げた．その背景に，必要な確率論の道具立てが整備されてきたということが挙げられる．

確率論とは，事象（イベント）がランダムに発生するような世界を解析する数学の分野で，事象の集まりと，それぞれの事象の発生確率が与えられた設定を基本の枠組みとする．統計物理学も，実現可能なすべての状態（=事象）に対して，その重み（=発生確率）を与える，というものなので，自然に確率論の設定に落ち着くことになる．

臨界現象を研究するための，確率論の道具立てとして，シュラム・レヴナー発展（Schramm–Loewner Evolution, SLE）は，最も重要なものの一つである．これは，二次元臨界格子模型における，ドメイン壁の連続極限を記述することを目的に導入された，ランダム曲線である．ここにいう「ドメイン壁」とは，例えば，イジング模型の＋スピンと-スピンの境界線のことを指す．SLEにおいて画期的だったのは，二次元領域内のランダム曲線を境界（一次元）におけるランダムな点の運動，すなわち一次元確率過程で特徴づけるという点であった．しかも，ランダム曲線が臨界格子模型のドメイン壁を記述すると仮定すると，この一次元確率過程はブラウン運動に限られるのである．これにより，ランダム曲線の研究が，ブラウン運動という，よく知られた確率過程の研究に帰着したのである．

ところで，SLEは一本のランダム曲線を扱う．他方，格子模型に立ち返れば，複数のドメイン壁を同時に考える，というのは自然と思われる．こうした動機から，SLEを複数のランダム曲線を扱う場合へ一般化したものは，多重SLEとよばれる．

SLEにおいて，一本のランダム曲線が，境界上の確率過程に対応したことの類似として，多重SLEでは，多重曲線が，境界上の多粒子確率過程に対応する．しかし，SLEの場合よりも状況は複雑である．多重SLEに対しては，格子模型のドメイン壁を記述するという，物理的な仮定を課しても，境界上の確率過程に関する情報は何も得られないのである．では，多重SLEを考えるにあたって，境界上の確率過程は何であるべきだろうか．

我々が着目したのは，近年盛んに研究されている，SLEとガウス自由場（Gaussian Free Field, GFF）との結合である．

GFFとは，質量のない自由ボーズ場の，確率論における別名である．GFFが定義された領域に，SLEに沿って切り込みを入れる操作を時間発展と考えることで，GFFの時間発展系が得られる．SLE/GFF結合とは，このGFFの時間発展系がある種の定常性を示す現象のことを指す．これは，SLEが登場して以来，度々議論されてきた，「共形場理論との結合」の一例を与えている．

我々は，このSLE/GFF結合を多重SLEへ拡張しようと試みる中で，上記の問題への解答を得た．結論としては，多重SLEとGFFの結合が成立するための条件として，境界上の確率過程が，ダイソン模型でなくてはならないのである．

ダイソン模型は，元々ランダム行列の動的拡張として導入されたもので，長距離相互作用する多粒子系の確率過程としては最もよく研究されている例の一つである．我々の結果は，このような動的ランダム行列理論に対して，多重SLEとGFFの結合という新しい視点を提供しているものとも考えられる．

深層ニューラルネットワーク（Deep Neural Network, DNN）を用いた機械学習は，深層学習とよばれ，画像認識，機械翻訳などで身近なものとなった．しかしその高い学習能力のメカニズムはよくわかっておらず，ブラックボックスとして使われている面が無視できない．最先端の応用では様々なノウハウが駆使されるが，単純化した状況設定から考える物理学の発想がこのブラックボックスにメスを入れるのに役立つであろう．ニューラルネットワークを用いた機械学習はスピングラスに端を発するランダム系の統計力学，情報統計力学において伝統的に重要なテーマである．

Nビットの入力を，Nビットの出力に変換する「関数」を，DNNでデザインすることを考えてみよう．このNをDNNの「幅」とよぶことにする．入出力を含めて，ネットワークには多数のニューロンがある．あるニューロンの状態を変数S_iで表そう．これが入力信号h=∑_j J_ij S_jの関数としてS_i=f（h）で決まるとする．ここでS_jは隣接する，上流側，すなわち入力層に近い方の層にあるニューロンの状態でJ_ijはシナプス結合とよばれる．f（h）は活性化関数とよばれる．このDNN（このさき機械とよぶ）は多くの調節可能なシナプス結合J_ijをもち，これを調節してデザインできる機械の全体集合をΩ₀としよう．

統計力学的には次のような問いが立つ．M個の異なる入出力データの組が訓練データ（境界条件）として与えられたとして，これに完全に適合する機械は，シナプス結合J_ijを色々変えて，何通り作ることができるか?　この「正解の集合」をΩとし，その統計力学を考えるのである．

学習の問題で重要なのは，訓練データである．人工的だがシンプルなシナリオとして，（1）ランダムな入出力データ，（2）Ω₀から無作為に選んだ一つの「教師機械」にランダムなデータを入力し，対応する出力を取り出し，この組を「生徒機械」の訓練データとする，というものがある．（1）はガラス・ジャミング系の統計力学に深く関係する．他方，（2）はいわば結晶（隠された「教師機械」）を推定する統計力学である．

DNNの構成要素として最も単純なのは，符号を取り出す関数f（h）=sgn（h）を活性化関数とするもので，ニューロンの状態はイジング変数S_i=±1になる．これはいわゆるパーセプトロンの一つである．単体の場合は（1）（2）のシナリオともに深く理解されている．しかしこれを多数組み合わせたDNNの理論解析は困難とされてきた．

この困難は次のように克服できる．まず，全パーセプトロンの入出力関係が満足されることを拘束条件として導入することにより，シナプス結合J_ijのほかにニューロンS_iも力学変数に加えることができる．これによって，入力と出力を多段階の非線形写像で結ぶ問題が，局所的な相互作用をもつ多体系の統計力学として捉え直される．

得られた系には入出力層以外にランダムネスはない．ここで重要なヒントとなるのは，無限大次元の剛体球ガラスなど，近年急速に発展したガラス・ジャミング系の平均場理論である．そこではハミルトニアンにランダムネスがない系に対してもスピングラスなどランダム系で用いられたレプリカ法が強力なツールとなることが明らかになっている．

レプリカ法で理論を構成して解析した結果，熱力学極限N（幅），M（データ数）→∞で，比α=M /Nの増大とともに（1）レプリカ対称性の破れを伴うガラス転移，（2）結晶化が，ネットワークの両端から逐次的に起こって解空間Ωが狭くなること，ネットワークが十分深ければ中央部に「遊び」（液体領域）が残されることがわかった．これはある種の濡れ転移とみなせる．現実的には幅Nは有限であり，転移はクロスオーバーとなり，系は深さ方向にダイナミックスが変化する複雑な液体となる．

生命現象において，対称性とその破れは生命機能の制御に重要な役割を担う．鳥の翼は左右対称だが，ヒラメやカレイは左右非対称という特有の形態を示すことで知られる．よりミクロなレベルでは，球形の細胞は同じ大きさの二つの細胞に対称分裂を行うが，発生過程では非対称な分裂を行うことで，腹や背，頭や足などの体軸形成が行われる．このように細胞は，対称性とその破れをうまく活用している．

特に，細胞内における核配置の対称性に注目すると，哺乳類の卵母細胞（卵子の基になる細胞）では，球形の細胞内で細胞核が中心または端（辺縁）のいずれかに配置されている．配置対称性の制御に関わる分子系は，力生成を担うモータータンパク質のミオシン分子と，その力を伝える網目状のアクチン線維から成る「アクトミオシン細胞骨格」である．アクトミオシンは化学エネルギーを消費して収縮力を発生する非平衡状態にあり，「アクティブ・ゲル」とよばれる．アクトミオシンという一つの分子セットを用いて，細胞核を中心もしくは端という異なる配置に選り分ける物理的メカニズムとは何であろうか?

細胞内では数万種ものタンパク質がひしめき合い，分子活性が時空間的に制御された複雑なシステムである．この生きた細胞の複雑さが，細胞核配置の力学的な理解の妨げになっていた．そこで我々は，細胞から細胞核配置に必要と考えられる分子群を取り出すことで単純化した，人工細胞を開発した．人工細胞は，細胞サイズや界面の物理的性質の制御を可能にし，細胞核配置のメカニズムの理解に適している．本研究では，アクトミオシンを含む細胞抽出液を油の中に分散することで，円柱形の油中液滴（本研究の人工細胞）をつくり，この液滴の内部でのアクトミオシンの収縮現象を解析した．液滴内ではアクトミオシンが収縮力で凝集した球形のクラスター構造が形成され，大きい液滴ではクラスターが中心に位置し，小さい液滴ではクラスターが端に位置する，「配置対称性の破れ」を見出した．このクラスターを細胞核のモデルと見立て，配置現象のメカニズムを探求した．

生きた細胞では，アクトミオシンは細胞膜直下では殻のような頑強な裏打ち構造をつくる一方，細胞内では網目状のネットワークを形成している．我々の人工細胞においても同様に，液滴界面におけるアクチン線維の重合と，液滴内部でのアクチン線維ネットワークが形成された．このとき，液滴界面で形成されたアクトミオシンの波が中心へ向けて収縮し，クラスターが中心へ運ばれた．他方，液滴内部ではクラスターと液滴界面を繋ぐブリッジ状のアクチン線維が形成され，クラスターが端に運ばれた．このことから，対称性を維持しようとするアクトミオシン波と，対称性を破ろうとするアクチン線維のブリッジが競合し，綱引きのようなバランスで対称性が決まると考えられる．

配置現象に物理的理解を与えるため，アクトミオシンの収縮を記述するアクティブ・ゲル理論と，アクチン線維の確率的な結合を記述するパーコレーション理論を組み合わせた「綱引きモデル」を構築した．その結果，アクトミオシン波の発生周期と，アクチン線維のブリッジ形成に要する時間，これらの特徴的時間の大小関係でクラスターの配置対称性が決まることを説明でき，対称性を破る液滴の特徴サイズも定量的に予言された．以上の結果は，細胞核のような構造物を中心または端に配置するメカニズムとして，細胞内の対称性の制御原理に力学的な理解を与えるものである．

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