The purpose of this research is to consider students’ mathematical ideas of how the mensuration formula is deduced and how these ideas are applied in the process of first revising how to deduce the area of a circle and then trying to deduce the volume of a sphere through the teaching unit of integral calculus.  In this unit students express the process of finding the volume of a sphere mathematically and interpret it by reviewing the process of obtaining the area of a circle.  Therefore we design and practice the unit of integral calculus in order to deduct mensuration formula for circle and sphere.  We consider typical student’s activities by the qualitative method in the teaching unit of integral calculus.  Then we clarify students’ mathematical ideas and how the students apply these ideas effectively.

　　 Students’ activities through classes can be summarized into four points.  First, they expressed the description of the arithmetic textbook mathematically, which helped them interpret the area formula of a circle more deeply and give new ideas for deducing the volume formula of a sphere.  Secondly, students interpreted the process of deducing the volume formula of a sphere by connecting mathematical ideas in reproducing the area formula of a circle with transition between two dimensions and three dimensions.  Third, an encounter with a circular argument made the students recognize that they should always bear precondition in mind.  At the same time, it gave them a good opportunity to explain about their ideas to others.  Finally, students attempted to apply the ideas of the area formula of a circle and the volume formula of a sphere which were produced in the previous stage by modifying and improving their ideas.

らせん軸周りの回転で粒子を輸送するコイル状らせん型装置について，既往の研究で用いた小型（JIS規格20^Aサイズ）装置と比べて，体積で10.6倍の大きさであるJIS規格50^Aサイズのステンレス製180°ロングエルボを組み合わせた5旋回コイル状らせんを製作し，粒子輸送速度と壁面–粒子間の伝熱速度を測定した．粒子には，既往の研究で用いた球形粒子に加え，新たに天然鉱物を破砕した非球形粒子を用いた．らせん内の粒子層の体積と，らせん内壁面のうち粒子と接触する面積を，粒子の安息角を用いたモデルで推定した．装置内粒子層体積は，モデルの予測とほぼ一致した．壁面と粒子の間の伝熱係数は，既往の小型装置で求めた伝熱係数の相関式とおおむね一致した．粒子群交換モデルによる伝熱係数の推算値と実測値間に差異があり，この原因として壁面付近の粒子密度が低い層の伝熱抵抗が影響していると示唆された．

ガスがすべて固体層を通過する気固接触を維持しながら，らせん軸周りの回転で粒子を輸送するコイル状らせん構造をもつ装置を提案した．ステンレス製JIS規格20^Aサイズの180°ロングエルボを組み合わせ，5旋回コイル状らせんを作製した．コイルをフレキシブルヒーターで加熱して壁面を一定の温度に保ち，コイルを回転させて粒子を輸送した際の粒子の出入口間温度差と粒子の比熱および粒子輸送速度から，伝熱速度を求めた．伝熱係数はらせん回転速度増加とともに増加した．粒子の熱物性値とらせん回転速度から伝熱係数を与える実験式を得た．コールドモデルで観察したコイル内での粒子の動きから，粒子群がある一定時間壁面に接触しては離れることを繰り返すPacket renewal modelを用いて，粒子の熱物性値からコイル内壁面と粒子の間の伝熱係数を予測した．実測伝熱係数はモデル予測値の0.38–0.50倍となった．