Calculation of the class numbers and fundamental units of abelian extensions over imaginary quadratic fields from approximate values of elliptic units

Ken NAKAMULA

doi:10.2969/jmsj/03720245

Ken NAKAMULA

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1985 Volume 37 Issue 2 Pages 245-273

DOI https://doi.org/10.2969/jmsj/03720245

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Published: 1985 Received: December 28, 1981 Available on J-STAGE: October 20, 2006 Accepted: - Advance online publication: - Revised: -
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Date of correction: October 20, 2006 Reason for correction: - Correction: CITATION Details: Wrong : 1) Z. R. Borevich and I. R. Shafarevich, Number theory, Academic Press, New York, 1966.
2) M. Deuring, Die Klassenkörper der komplexen Multiplikation, Enzycl. Math. Wiss., I/2, 2 Aufl., Heft 10, Stuttgart, 1958.
3) A. Fröhlich, Invariants for modules over commutative separable orders, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 16(1965), 193-232.
4) R. Gillard, Remarques sur les unités cyclotomiques et les unités elliptiques, J. Number Theory, 11(1979), 21-48.
5) R. Gillard and G. Robert, Groupes d'unités elliptiques, Bull. Soc. Math. France, 107 (1979), 305-317.
6) G. Gras and M.-N. Gras, Calcul du nombre de classes et des unités des extensions abéliennes réelles de Q, Bull. Sci. Math. 2^e série, 101 (1977), 97-129.
7) M.-N. Gras, Méthodes et algorithmes pour le calcul numérique du nombre de classes et des unités des extensions cycliques cubiques de Q, J. Reine Angew. Math., 277 (1975), 89-116.
8) M.-N. Gras, Table numérique du nombre de classes et des unités des extensions cycliques réelles de degré 4 de Q, Publ. Math. Univ. Besançon, 1977/78, fasc. 2.
9) M.-N. Gras, Classes et unités des extensions cycliques réelles de degré 4 de Q, Ann. Inst. Fourier, 29(1979), 107-124.
10) F. Halter-Koch, Geschlechtertheorie der Ringklassenkorper, J. Reine Angew. Math., 250 (1971), 107-108.
11) H. Hasse, Das Zerlegungsgesetz für die Teiler des Moduls in den Ringklassenkörpern der komplexen Multiplikation, Monatsh. Math., 38 (1931), 331-334.
12) A. S. Householder, The numerical treatment of a single nonlinear equation, McGraw-Hill, 1970.
13) S. Lang, Algebraic number theory, Addison-Wesley, 1970.
14) H. W. Leopoldt, Über Einheitengruppe und Klassenzahl reeler abelscher Zahlkörper, Abh. Deutsche Akad. Wiss. Berlin, Math.-Nat. Kl. Nr. 2, 1954.
15) S. Mäki, The determination of units in real cyclic sextic fields, Lecture Notes in Math., 797, Springer, 1980.
16) C. Meyer, Die Berechnung der Klassenzahl abelscher Körper über quadratischen Zahlkörpern, Berlin, 1957.
17) K. Nakamula, Class number calculation and elliptic unit, I. Cubic case, II. Quartic case, III. Sextic case, Proc. Japan Acad. Ser. A, 57 (1981), 56-59, 117-120, 363-366.
18) K. Nakamula, Elliptic unit and class number calculation, RIMS Kôkyûroku, 411 (1981), 88-98.
19) K. Nakamula, On elliptic units and a class number decomposition, RIMS Kôkyûroku, 440 (1981), 167-178.
20) K. Nakamula, Class number calculation of a cubic field from the elliptic unit, J. Reine Angew. Math., 331 (1982), 114-123.
21) K. Nakamula, A construction of the groups of units of some number fields from certain subgroups, Tokyo J. Math., 5 (1982), 85-106.
22) K. Ramachandra, Some applications of Kronecker's limit formulas, Ann. of Math., 80 (1964), 104-148.
23) G. Robert, Unités elliptiques, Bull. Soc. Math. France, mémoire 36, 1973.
24) R. Schertz, Die Klassenzahl der Teilkörpern abelscher Erweiterungen imaginär-quadratischer Zahlkörper, I, II, J. Reine Angew. Math., 295 (1977), 151-168, 296 (1977), 58-79.
25) C. L. Siegel, Lectures on advanced analytic number theory, Tata Inst. Fund. Research, Bombay, 1961.
26) H. M. Stark, L-functions at s=1, IV, Advances in Math., 35(1980), 197-235.

Right : [1] Z. R. Borevich and I. R. Shafarevich, Number theory, Academic Press, New York, 1966.
[2] M. Deuring, Die Klassenkörper der komplexen Multiplikation, Enzycl. Math. Wiss., I/2, 2 Aufl., Heft 10, Stuttgart, 1958.
[3] A. Fröhlich, Invariants for modules over commutative separable orders, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 16 (1965), 193-232.
[4] R. Gillard, Remarques sur les unités cyclotomiques et les unités elliptiques, J. Number Theory, 11 (1979), 21-48.
[5] R. Gillard and G. Robert, Groupes d'unités elliptiques, Bull. Soc. Math. France, 107 (1979), 305-317.
[6] G. Gras and M. -N. Gras, Calcul du nombre de classes et des unités des extensions abéliennes réelles de Q, Bull. Sci. Math. 2^e série, 101 (1977), 97-129.
[7] M. -N. Gras, Méthodes et algorithmes pour le calcul numérique du nombre de classes et des unités des extensions cycliques cubiques de Q, J. Reine Angew. Math., 277 (1975), 89-116.
[8] M. -N. Gras, Table numérique du nombre de classes et des unités des extensions cycliques réelles de degré 4 de Q, Publ. Math. Univ. Besançon, 1977/78, fasc. 2.
[9] M. -N. Gras, Classes et unités des extensions cycliques réelles de degré 4 de Q, Ann. Inst. Fourier, 29 (1979), 107-124.
[10] F. Halter-Koch, Geschlechtertheorie der Ringklassenkörper, J. Reine Angew. Math., 250 (1971), 107-108.
[11] H. Hasse, Das Zerlegungsgesetz für die Teiler des Moduls in den Ringklassenkörpern der komplexen Multiplikation, Monatsh. Math., 38 (1931), 331-334.
[12] A. S. Householder, The numerical treatment of a single nonlinear equation, McGraw-Hill, 1970.
[13] S. Lang, Algebraic number theory, Addison-Wesley, 1970.
[14] H. W. Leopoldt, Über Einheitengruppe und Klassenzahl reeler abelscher Zahlkörper, Abh. Deutsche Akad. Wiss. Berlin, Math. -Nat. Kl. Nr. 2, 1954.
[15] S. Mäki, The determination of units in real cyclic sextic fields, Lecture Notes in Math., 797, Springer, 1980.
[16] C. Meyer, Die Berechnung der Klassenzahl abelscher Körper über quadratischen Zahlkörpern, Berlin, 1957.
[17] K. Nakamula, Class number calculation and elliptic unit, I. Cubic case, II. Quartic case, III. Sextic case, Proc. Japan Acad. Ser. A, 57 (1981), 56-59, 117-120, 363-366.
[18] K. Nakamula, Elliptic unit and class number calculation, RIMS Kôkyûroku, 411 (1981), 88-98.
[19] K. Nakamula, On elliptic units and a class number decomposition, RIMS Kôkyûroku, 440 (1981), 167-178.
[20] K. Nakamula, Class number calculation of a cubic field from the elliptic unit, J. Reine Angew. Math., 331 (1982), 114-123.
[21] K. Nakamula, A construction of the groups of units of some number fields from certain subgroups, Tokyo J. Math., 5 (1982), 85-106.
[22] K. Ramachandra, Some applications of Kronecker's limit formulas, Ann. of Math., 80 (1964), 104-148.
[23] G. Robert, Unités elliptiques, Bull. Soc. Math. France, mémoire 36, 1973.
[24] R. Schertz, Die Klassenzahl der Teilkörpern abelscher Erweiterungen imaginär-quadratischer Zahlkörper, I, II, J. Reine Angew. Math., 295 (1977), 151-168, 296 (1977), 58-79.
[25] C. L. Siegel, Lectures on advanced analytic number theory, Tata Inst. Fund. Research, Bombay, 1961.
[26] H. M. Stark, L-functions at s=1, IV, Advances in Math., 35 (1980), 197-235.

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