A Proposition of a Kinetics Model for Stress-induced Martensitic Transformation in Fe-28Mn-6Si-5Cr Shape Memory Alloy

Synopsis:

Shape memory alloys (SMAs) have been widely-used for many applications because of its unique characteristic. Among various kinds of SMAs, an Fe-based alloy indicates the excellent formability, machinability and weldability. In addition, its production cost is lower than other alloys. Therefore, it is attempted that the alloy is applied to structural members such as the joint and dampers. When the Fe-based alloy is used as the members, a model of the transformation kinetics with higher precision is indispensable to simulate the deformation behavior of the members for its design. In the past, the model of forward and reverse transformation kinetics has been proposed; however, the small initial value for the volume fraction of martensite must be introduced. In this study, the precise model for transformation kinetics will be derived from an idea of a nucleation site and the transformation probability based on thermodynamics. Then, a validity of the proposed model is confirmed by a comparison with the past-proposed model. As a result, the proposed model can express the result calculated by the model proposed in the past. Additionally, it is successful that weak points of the previous model can be improved.

1. はじめに

形状記憶合金における変形は通常の金属材料と異なり，マルテンサイト変態とその逆変態によって支配される。1982年に発見された鉄基合金¹⁾における形状回復ひずみは，最大で約4%とNi-Ti合金と比して小さい。しかしながら，鉄基合金は安価，量産向きであり，さらに，加工性，切削性，溶接性に優れている。このため，他の形状記憶合金ではコスト面から適用が困難であった，大型の構造用材料として実用化されている。さらに，外部から繰り返し負荷される場合を想定すれば，すべり変形を伴わず吸収できるため，制振ダンパーへの応用が期待されている。

鉄基形状記憶合金を管継手などの構造用部材に適用する場合，数値シミュレーションを導入することにより，変形挙動の予測が可能となり，試作および評価試験に要する時間の短縮が期待される。汎用有限要素解析コードであるMarcにおいては，形状記憶合金の材料モデルが実装されており²⁾，超弾性を含めた合金の変形挙動解析を行うことが可能である。しかしながら，温度変化に伴う超弾性挙動，形状記憶効果まで十分に表現可能な材料モデルではなく，これらを表現可能な構成モデルの構築が必要となる。また，汎用コードにはユーザーカスタマイズ機能が具備されており，構築したモデルを容易に解析へ反映可能な状況にある^3,4)。したがって，変形挙動を高精度に表現できるモデル，すなわち熱・力学的負荷と変態の進行を表現可能な変態キネティクスモデルの導入が不可欠となる。

形状記憶合金に関する変態キネティクスモデルについては，Tanakaら⁵⁾の式が有名である。Tanakaら⁵⁾はマルテンサイト相体積分率を内部変数として導入し，Magee⁶⁾の式を拡張することにより，単軸引張応力下においてモデルを提案している。また，既に存在するマルテンサイト相が，新たなマルテンサイト相の核生成を誘発するものと考え，Nishimuraら⁷⁾は，鉄基形状記憶合金において，Tanakaら⁵⁾の式を拡張することにより，以下に示す式を提案している。   

$$\begin{array}{c}\frac{{\dot{f}}^{\epsilon }}{f^{\epsilon }\left(1-f^{\epsilon }\right)}={\xi }_M\left(b_A{c}_A\dot{T}-b_A\dot{\sigma }\right)\\ -\frac{{\dot{f}}^{\epsilon }}{f^{\epsilon }\left(1-f^{\epsilon }\right)}={\xi }_A\left(b_M{c}_M\dot{T}-b_M\dot{\sigma }\right)\end{array}\}$$(1)

ここで，f^εはマルテンサイト相体積分率，T，σは温度および応力，ξ_Aはマルテンサイト変態開始時におけるオーステナイト相の体積分率，ξ_Mは逆変態開始時におけるマルテンサイト相の体積分率，b_M，c_M，b_A，c_Aは材料パラメータを示す。また，上式の第1式はマルテンサイト変態，第2式は逆変態キネティクスモデルを表す。上式は，マルテンサイト相体積分率の変化が変形初期には小さく，変態の進行に伴って増加した後，一定値に飽和するという挙動を表現し，駆動力に対してS字型の曲線で表される。しかしながら，上式において，完全なオーステナイト状態，すなわちf^ε=0の場合，${\dot{f}}^{\epsilon }$=0となることから，変態に必要な駆動力を供したとしても，マルテンサイト相が発生しない。そのため，特殊な操作を行う必要がある。

そこで本研究では，マルテンサイト相の核生成に着目し，鉄基形状記憶合金の一種であるFe-28Mn-6Si-5Cr合金において，Nishimuraら⁷⁾の導出したモデルの欠点を補うことにより，順変態が終了した材料内部の点において発生する逆変態挙動を，特殊な操作を必要とせず，高精度に表現可能なモデルを提案する。

2. 変態キネティクスモデルの構築

Stringfellowら⁸⁾の考え方に従えば，母相であるオーステナイト相の単位体積あたりの核生成サイトの数N_sは，母相単位体積あたりのマルテンサイト相の核数N_εと，核生成サイトがマルテンサイト相の核に変わる変態確率pによって，以下のように関係づけられる。   

$$N_{\epsilon }=p{N}_s$$(2)

ここでpは熱力学的ゆらぎを考慮して，以下のように全変態駆動力gに対し，Gauss分布を仮定する。   

$$p={\int }_{-\infty }^g{n}_v\left(g^{\prime }\right)d{g}^{\prime },n_v\left(g\right)=\frac{1}{{\sigma }_g\sqrt{2\pi }}\exp \left\{-\frac{1}{2}{\left(\frac{g-g_0}{{\sigma }_g}\right)}^2\right\}$$(3)

ここで，σ_gはn_v(g)における標準偏差，g₀はその平均値を表す。変態駆動力は化学的駆動力ΔG_chemと力学的駆動力ΔG_mechの和として与えれば，以下のように表現することができる。   

$$g=\Delta G_{\text{chem}}+\Delta G_{\text{mech}}=g_1\frac{{\text{M}}_{\text{s}}-T}{{\text{M}}_{\text{s}}-{\text{M}}_{\text{f}}}+g_2{\sigma }_{ij}{\epsilon }_{ij}^{tr}=\frac{g_1}{{\text{M}}_{\text{s}}-{\text{M}}_{\text{f}}}\left({\text{M}}_{\text{s}}-T\right)+g_2\left({\sigma }_{ij}^{\text{'}}{\epsilon }_{ij}^{tr}+\frac{1}{3}{\sigma }_{ii}{\epsilon }_{jj}^{tr}\right)$$(4)

M_sおよびM_fはマルテンサイト変態開始および終了温度，σ_ijはCauchy応力，σ'_ijはσ_ijの偏差成分，ε^tr_ijは変態ひずみ，g₁およびg₂は定数である。Iwamotoら⁹⁾に従い，変態ひずみ速度${\dot{\epsilon }}^{tr}{}_{ij}$は偏差成分と体積膨張成分に分解でき，その偏差成分が巨視的に偏差応力と同軸であるとすれば，以下のように表すことができる。   

$${\dot{\epsilon }}_{ij}^{tr}=\left(\frac{3}{2\overline{\sigma }}{R}_{\epsilon }{\sigma }_{ij}^{\text{'}}+\frac{1}{3}\Delta v{\delta }_{ij}\right){\dot{f}}^{\epsilon }$$(5)

R_εはマルテンサイト変態に伴う形状変化の大きさ，Δvは体積変化率，σはMisesの塑性ポテンシャルを仮定した場合の相当応力，δ_ijはKroneckerのデルタ記号を表す⁹⁾。上式に，σ'_ijとの積をとれば，以下を得る。   

$${\sigma }_{ij}^{\text{'}}{\dot{\epsilon }}_{ij}^{tr}=\frac{9}{4}\overline{\sigma }{R}_{\epsilon }{\dot{f}}^{\epsilon }$$(6)

また，${\dot{\epsilon }}^{tr}{}_{ij}$の体積膨張成分と平均応力との積は次式で表すことができる。   

$$\frac{1}{3}{\sigma }_{ii}{\dot{\epsilon }}_{jj}^{tr}=\frac{1}{3}{\sigma }_{ii}\Delta v{\dot{f}}^{\epsilon }$$(7)

応力一定を仮定し，上式の時間積分すれば，以下の式を得る。   

$${\sigma }_{ij}^{\text{'}}{\epsilon }_{ij}^{tr}+\frac{1}{3}{\sigma }_{ii}{\epsilon }_{jj}^{tr}=\left(\frac{9}{4}\overline{\sigma }{R}_{\epsilon }+\frac{1}{3}{\sigma }_{ii}\Delta v\right)f^{\epsilon }$$(8)

上式は複数の核生成サイトを含んだ母相全体の単位体積における力学的駆動力である。従って，マルテンサイト相が占める単位体積当たりの力学的駆動力は，f^εで除することにより，結局gは以下のように表すことができる。   

$$g=\frac{{\text{M}}_{\text{s}}{g}_1}{{\text{M}}_{\text{s}}-{\text{M}}_{\text{f}}}-\frac{g_1}{{\text{M}}_{\text{s}}-{\text{M}}_{\text{f}}}T+\frac{9g_2{R}_{\epsilon }}{4}\overline{\sigma }+\frac{g_2\Delta v}{3}{\sigma }_{ii}=g_3-g_{4}T+g_5\overline{\sigma }+g_6{\sigma }_{ii}$$(9)

ここで，パラメータの数を減じるため，以下に新しく定義する駆動力g_nεを導入する。   

$$g_{n\epsilon }=-T+g_1^{\text{'}}\overline{\sigma }+g_2^{\text{'}}{\sigma }_{ii}=\frac{g-g_3}{g_4}$$(10)

するとn_v(g)は，g_nεを用いて新しく以下のように書き換えることができる。   

$$n_v\left(g_{n\epsilon }\right)=\frac{1}{{\sigma }_{gn}\sqrt{2\pi }}\exp \left\{-\frac{1}{2}{\left[\frac{g_{n\epsilon }-g_{0n}}{{\sigma }_{gn}}\right]}^2\right\}$$(11)

なお，σ_gn(=σ_g/g₄)はn'_v(g_nε)における標準偏差，g_0n[=(g₀−g₃)/g₄]はその平均値を表す。また，g_nεに支配されるpも同様に以下のように書き換えることができる。   

$$p={\int }_{-\infty }^{g_{n\epsilon }}{n}_v\left(g_{n\epsilon }\right)d{g}_{n\epsilon }$$(12)

N_εの時間微分を考えれば，次式を得る。   

$${\dot{N}}_{\epsilon }=p{\dot{N}}_s+\dot{p}{N}_s$$(13)

ただし，変態の不可逆性を導入するため，Heaviside関数により上式を表せば，${\dot{N}}_{\epsilon }$を以下のように書き換えることができる。   

$$\begin{array}{c}{\dot{N}}_{\epsilon }=p{\dot{N}}_s+\dot{p}{N}_{s}H\left(\dot{p}\right)\\ \begin{array}{c}H\left(\dot{p}\right)=1,\dot{p}>0\\ H\left(\dot{p}\right)=0,\dot{p}<0\end{array}\}\end{array}$$(14)

pはg_nの関数となるため，微分の連鎖則より，以下を得る。   

$$\dot{p}=n_v\left(g_{n\epsilon }\right){\dot{g}}_{n\epsilon }$$(15)

これを式(14)に代入すれば，以下のようになる。   

$${\dot{N}}_{\epsilon }=p{\dot{N}}_s+n_v\left(g_{n\epsilon }\right)N_{s}H\left({\dot{g}}_{n\epsilon }\right){\dot{g}}_{n\epsilon }$$(16)

さて，${\dot{N}}_s$について，Nishimuraら⁷⁾の修正のように，もしマルテンサイト相自体が核生成サイトに対応するとすれば，以下のように，f^εに依存した形式で表現することができる。   

$${\dot{N}}_s={\dot{N}}_1{f}^{\epsilon }$$(17)

ここで，${\dot{N}}_1$はマルテンサイト相自体が核生成サイトになり得る割合を表す。今，その割合が駆動力に依存すると仮定し，次式を用いる。   

$${\dot{N}}_1=N_2{\dot{g}}_{n\epsilon }$$(18)

N₂は定数である。これらを${\dot{N}}_{\epsilon }$の式に代入すれば，以下を得る。   

$${\dot{N}}_{\epsilon }=p{N}_2{f}^{\epsilon }{\dot{g}}_{n\epsilon }+n_v\left(g_{n\epsilon }\right)N_{s}H\left({\dot{g}}_{n\epsilon }\right){\dot{g}}_{n\epsilon }$$(19)

また，Olson and Cohen¹⁰⁾によれば，${\dot{N}}_{\epsilon }$は${\dot{f}}^{\epsilon }$と以下のように関係付けられる。   

$${\dot{f}}^{\epsilon }=\left(1-f^{\epsilon }\right){\overline{v}}_{\epsilon }{\dot{N}}_{\epsilon }$$(20)

ここで，v_εはマルテンサイト相がもつ平均体積である。結局，以下のような，変態キネティクスモデルが導出できる。   

$$\begin{array}{c}{\dot{f}}^{\epsilon }=\left(1-f^{\epsilon }\right)\left({\alpha }_{\epsilon }{f}^{\epsilon }+{\beta }_{\epsilon }\right){\dot{g}}_{n\epsilon }\\ \begin{array}{c}{\alpha }_{\epsilon }=N_2{\overline{v}}_{\epsilon }p={\alpha }_{1}p=\frac{{\alpha }_1}{{\sigma }_g\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{g_{n\epsilon }}\exp \left\{-\frac{1}{2}{\left(\frac{g_{n\epsilon }^{\text{'}}-g_0}{{\sigma }_g}\right)}^2\right\}d{g}_{n\epsilon }^{\text{'}}\\ {\beta }_{\epsilon }=N_s{\overline{v}}_{\epsilon }{n}_v\left(g_{n\epsilon }\right)H\left({\dot{g}}_{n\epsilon }\right)=\frac{{\beta }_1}{{\sigma }_g\sqrt{2\pi }}\exp \left\{-\frac{1}{2}{\left(\frac{g_{n\epsilon }-g_0}{{\sigma }_g}\right)}^2\right\}H\left({\dot{g}}_{n\epsilon }\right)\end{array}\}\end{array}$$(21)

α₁およびβ₁は定数である。また，α_εおよびβ_εは，駆動力g_nεに依存する。なお，上式においては，式(11)におけるσ_gn，g_0nを，改めてσ_gおよびg₀として記していることに注意を要する。さらに，式(1)を参考に，上式を逆変態へと拡張すれば，以下のように表される。   

$$\begin{array}{c}{\dot{f}}^{\epsilon }=-\left(1-f^{\epsilon }\right)\left({\alpha }_{\gamma }{f}^{\epsilon }+{\beta }_{\gamma }\right){\dot{g}}_{n\gamma }\\ \begin{array}{c}{\alpha }_{\gamma }=\frac{{\alpha }_2}{{\sigma }_g^{\text{'}}\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{g_{nr}}\exp \left\{-\frac{1}{2}{\left(\frac{g_{n\gamma }^{\text{'}}-g_0^{\text{'}}}{{\sigma }_g^{\text{'}}}\right)}^2\right\}d{g}_{n\gamma }^{\text{'}}\\ {\beta }_{\gamma }=\frac{{\beta }_2}{{\sigma }_g^{\text{'}}\sqrt{2\pi }}\exp \left\{-\frac{1}{2}{\left(\frac{g_{n\gamma }-g_0^{\text{'}}}{{\sigma }_g^{\text{'}}}\right)}^2\right\}H\left({\dot{g}}_{n\gamma }\right)\\ g_{n\gamma }=-T+g_1^{\text{'}\text{'}}\overline{\sigma }+g_2^{\text{'}\text{'}}{\sigma }_{ii}\end{array}\}\end{array}$$(22)

g_nγは逆変態駆動力，g'₀，σ'_g，g''₁，g''₂，は逆変態キネティクスモデル(22)におけるパラメータである。

3. 妥当性の検討とパラメータの同定

今，核生成サイトの数および駆動力が一定であるとすれば，式(16)は以下のようになる。   

$${\dot{N}}_{\epsilon }=-k{\dot{g}}_{n\epsilon },k=-n_v\left(g_{n\epsilon }\right)N_{s}H\left({\dot{g}}_{n\epsilon }\right)$$(23)

この式はMagee⁶⁾の式と一致する。また，式(21)において，α_εおよびβ_εを一定値，αおよびβとおいて積分すれば，以下を得る。   

$$f^{\epsilon }=\frac{\exp \left[\left(\alpha +\beta \right)g_{n\epsilon }\right]+\beta \exp \left[\left(\alpha +\beta \right)C\right]}{\exp \left[\left(\alpha +\beta \right)g_{n\epsilon }\right]-\alpha \exp \left[\left(\alpha +\beta \right)C\right]}$$(24)

ここで，Cは積分定数である。上式を以下のように変形する。   

$$f^{\epsilon }=\frac{\exp \left[\left(\alpha +\beta \right)g_{n\epsilon }+C\text{'}\right]+\beta }{\exp \left[\left(\alpha +\beta \right)g_{n\epsilon }+C\text{'}\right]-\alpha }$$(25)

C'=−(α+β)Cとなる。g_nε=−M_sの時に，f^ε=0という変態開始条件を用いれば，C'は次式のように決定することができる。   

$$C^{\prime }=\ln \left(-\beta \right)+\left(\alpha +\beta \right){\text{M}}_{\text{s}}$$(26)

更なる式変形により，式(21)の積分形として以下を得る。   

$$f^{\epsilon }=1-\frac{\alpha +\beta }{\beta \exp \left[\left(\alpha +\beta \right)\left(g_{n\epsilon }+{\text{M}}_{\text{s}}\right)\right]+\alpha }$$(27)

一方，変態開始条件を初期条件として，Nishimuraら⁷⁾によって提案された式(1)を積分することにより，f^εは以下のように表される⁷⁾。   

$$\begin{array}{c}{f}^{\epsilon }=1-{\xi }_A\frac{1}{1+\exp \left[b_M{c}_M\left({\text{M}}_{\text{s}}-T\right)+b_M\sigma +R\right]}\\ f^{\epsilon }={\xi }_M\frac{1}{1+\exp \left[b_A{c}_A\left({\text{A}}_{\text{s}}-T\right)+b_A\sigma +R\right]}\end{array}\}$$(28)

ここで，b_Mおよびb_Aは，g_n=−M_fの時に，f^ε=1という変態終了条件より求められ，以下のように表される⁵⁾。   

$$b_M=\frac{R-\ln \left(100{\xi }_A-1\right)}{c_M\left({\text{M}}_{\text{f}}-{\text{M}}_{\text{s}}\right)},b_A=\frac{R-\ln \left(100{\xi }_M-1\right)}{c_A\left({\text{A}}_{\text{f}}-{\text{A}}_{\text{s}}\right)}$$(29)

上式において，Rはマルテンサイト変態開始および終了温度を調整するパラメータであり，それぞれ以下のように表される。   

$${\xi }_M={\xi }_A=0.99,R=-\ln \left(99\right)$$(30)

式(27)と(28)を比較すると，両式は同形式となっていることがわかる。このことから，提案した式(21)はNishimuraら⁷⁾が導出した式(1)と同様であると言える。しかしながら，Nishimuraら⁷⁾は，式(28)において，変態終了条件を強制的に導入することから，式(30)で表される特殊なパラメータRを考慮して，しかも微小なf^εの初期値，すなわちf^ε0=0.01を導入しなければならない結果となっており，その値自体に根拠は無い。

式(21)および(22)について，材料パラメータを同定する必要がある。ここでは，単軸引張の場合を仮定し，Nishimuraら⁷⁾が提案した変態キネティクスモデル(1)と比較することにより材料パラメータを同定する。式(1)において，マルテンサイト変態開始条件および逆変態開始条件は，応力と温度の線形関係として，それぞれ次のように表される⁷⁾。   

$$c_M\left({\text{M}}_{\text{s}}-T\right)+\sigma =0,c_A\left({\text{A}}_{\text{s}}-T\right)+\sigma =0$$(31)

上式において，材料パラメータc_Mおよびc_Aは，応力−温度平面上の直線の傾きを表す。これらの材料パラメータは，実験によって得られる変態図から決定することができる。なお，Nishimuraら⁷⁾は，c_MについてはBouraoui¹¹⁾らの，M_s，M_f，A_s，A_fについてはKhalil¹²⁾らの実験結果をそれぞれ用いている。c_Aについては，各応力において，逆変態温度を実験的に求めることにより決定される。しかしながら，Fe-28Mn-6Si-5Cr合金において，これについての実験結果は報告されていない。また，Nishimuraら⁷⁾は，Fe-9Cr-5Ni-14Mn-6Si合金において，実験によりc_A=2と決定し，Fe-28Mn-6Si-5Cr合金とFe-9Cr-5Ni-14Mn-6Si合金では，c_Mについて，ほぼ同様の値を示すことから，Fe-28Mn-6Si-5Cr合金においてもc_A=2と仮定する。

以上を参考に，本研究で提案したモデル(21)のパラメータを決定する。まず，式(10)において，単軸引張の場合を仮定すると，g_nεは以下のように表される。   

$$g_{n\epsilon }=-T+\left(g_1^{\text{'}}+g_2^{\text{'}}\right)\sigma$$(32)

式(21)および(22)に示したように，β_εおよびβ_γは無応力状態を仮定した場合，温度に関するGauss分布で表すことができる。ここで，σ_g，σ'_gはその標準偏差，g₀，g'₀は平均値を表すことから，マルテンサイト相が生成，および消滅する温度が，それぞれM_s，A_fおよびM_f，A_s点となるようσ_g，σ'_g，g₀，g'₀の値を調整する。Fig.1に，β₁=1，β₂=−0.1，σ_g=15 K，σ'_g=2.7 K，g₀=−198 K，g'₀=−424 Kとした際のβ_ε−T関係およびβ_γ−T関係を示す。この図からわかるように，マルテンサイト変態開始温度および終了温度はそれぞれ243，153 Kとなり，この値はFe-28Mn-6Si-5Cr合金のM_sおよびM_f点と一致している。また，逆変態においても，T=416，432 Kとなり，A_sおよびA_f点と概ね一致している。このように，式(21)中のパラメータを決定し，Table 1に示す。

Fig. 1.

 Parameters β_ε and β_γ in Eqs. (21) and (22) - temperature curve.

Table 1. Material parameters of Fe-28Mn-6Si-5Cr alloy in present model.

α1	β1	σg	g0	g'1	g'2
0.1	1	15	–198	0.5	0.5
α2	β2	σ'g	g'0	g''1	g''2
–0.17	–0.1	2.7	–424	0.25	0.25

4. 解析結果と比較

Fig.2に，式(1)で表したNishimuraら⁷⁾が提案したモデルおよび本研究で提案したモデル(21)における，作用させる一定の引張応力σを0，100，200 MPaに変化させた場合のマルテンサイト体積分率f^ε−T関係を示す。なお，本ケースは，σに相当する一定外力を作用させた場合についての結果であり，式(8)にて導入した応力一定の仮定を満足する。本研究で提案したモデルについては，式(21)に，Runge-Kutta法を適用し，数値積分を行うことにより求める。一方，Nishimuraらのモデル⁷⁾では，式(1)ではなく積分形である式(28)を使用する。また，Fig.3は，Tを300，400，500 Kとした場合f^ε−σ関係を示す。さらに，Fig.4および5は，M_s点以下の温度における単軸引張変形によってマルテンサイト相を完全に発生させた後の逆変態過程において，σを0，100，200 MPaの一定値に保持し，Tを変化させた場合のf^ε−T関係，およびTを450，550，650 Kの一定値に保持し，σを減少させた場合f^ε−σ関係を示す。なお，Fig.5については完全にマルテンサイト変態が生じた状態の応力値を保持し，図中の温度一定に設定した後，除荷するという条件の下で解析を実行しており，本合金では観察されない超弾性，すなわち応力の負荷・除荷のみで変態・逆変態が生じるような設定ではないことを付記する。Table 1に示すように，材料パラメータを決定した場合，本研究で提案したモデルは，S字型の曲線を示し，Nishimuraら⁷⁾のモデルとよく一致している。加えて，Nishimuraら⁷⁾のモデルにおいては，マルテンサイト変態が生じる以前に初期値として0.01を与えているのに対し，本研究で提案したモデルでは，ゼロを示していることから，Nishimuraら⁷⁾のモデルの欠点を補完していることがわかる。

Fig. 2.

 Comparison of volume fraction of martensite-temperature curves between previously-proposed and present models for forward transformation.

Fig. 3.

 Comparison of volume fraction of martensite-stress curves between previously-proposed and present models for forward transformation.

Fig. 4.

 Comparison of volume fraction of martensite-temperature curves between previously-proposed and present models for reverse transformation.

Fig. 5.

 Comparison of volume fraction of martensite-stress curves between previously-proposed and present models for reverse transformation.

なお，Table 1に示したパラメータのうち，α₁，α₂，β₁，β₂，g'₁，g'₂，g''₁およびg''₂は実験的に決定する必要がある。しかしながら，これらを決定するための充分な実験結果が得られていないことから，本研究では式(27)と(28)が同形式で表現されていること，式(28)中のc_A，c_Mならびに式(29)および(30)を利用して，それらを推定している。なお，前述の通り，c_Aおよびc_Mは合金組成の若干異なるFe-9Cr-5Ni-14Mn-6Si合金の結果を用いて決定し，Fig.2から5に示したように，過去に提案されたモデルとの比較により提案したモデルの妥当性を示した。しかしながら，厳密に言えばFe-28Mn-6Si-5Cr合金を用いた実験結果より同定されていないことから，今後，SEM観察およびXRDよりFe-28Mn-6Si-5Cr合金のマルテンサイト量も，応力−ひずみ−温度と同時に計測し，パラメータの決定ならびにモデルの妥当性を更に確認する必要があるものと考える。

5. まとめ

本研究では，マルテンサイト相の核生成に着目し，Fe-28Mn-6Si-5Cr合金において，変態キネティクスモデルの提案を行い，従来のモデルとの比較によりその妥当性を示した。得られた結果について以下に示す。

(1)提案したモデルを，Nishimuraら⁷⁾のモデルと比較することにより，Fe-28Mn-6Si-5Cr合金について，提案モデル中に存在する，材料パラメータを同定することが可能である。

(2)提案したモデルは，Nishimuraら⁷⁾のモデルの問題点である，マルテンサイト体積分率f^ε=0の際に初期値を与えるという操作を行うことなく，変態開始および終了を表現することが可能である。

文献

• 1)   A.  Sato,  E.  Chishima,  K.  Soma and  T.  Mori: Acta Metall., 30(1982), 1177.
• 2)  MSC.Software Corporation: MSC.Marc Volume A: Theory and User Information, MSC.Software Corporation, Santa Ana, (2005), 31.
• 3)   P.  Terriault,  F.  Viens and  V.  Brailovski: Comp. Mater. Sci., 36(2006), 397.
• 4)   F.  Richter,  O.  Kastner and  G.  Eggeler: J. Mater. Eng. Perform., 18(2009), 626.
• 5)   K.  Tanaka,  S.  Kobayashi and  Y.  Sato: Int. J. Plast., 2(1986), 59.
• 6)   C.L.  Magee: Metall. Trans.，2(1971), 2419.
• 7)   F.  Nishimura,  N.  Watanabe and  K.  Tanaka: Comp. Mater. Sci., 8(1997), 349.
• 8)   R.G.  Stringfellow,  D.M.  Parks and  G.B.  Olson: Acta Metall. Mater., 40(1992), 1703.
• 9)   T.  Iwamoto,  T.  Tsuta and  Y.  Tomita: Int. J. Mech. Sci., 40(1998), 173.
• 10)   G.B.  Olson and  M.  Cohen: Metall. Trans. A, 6(1975), 791.
• 11)   T.  Bouraoui,  F.  Jemal and  T.B.  Zineb: Strength Mater., 40(2008), 203.
• 12)   W.  Khalil,  L.  Saint-Sulpice,  S.A.  Chirani,  C.  Bouby,  A.  Mikolajczak and  T.B.  Zineb: Mech. Mater., 63(2013), 1.