Identification of Structural Damage by Rate of Change of Non-Dimensional Displacement of Beams Subject to Moving Loads

Abstract

This study aims to identify structural damage in beams subjected to moving loads using the rate of change of the time history response of non-dimensional displacements. We analyze the time response of displacements of beams subjected to moving loads using the finite element method. The structural damage of the beam is simulated by changing the cross-sectional shape of the beam in a part of the section. The analysis results show that damage cannot be identified by the displacement time-history response alone but can be identified using the change rate of the displacement time-history response. Furthermore, it is shown that damage can be identified independent of the magnitude and velocity of the moving load by using the rate of change of the non-dimensional displacement time history response. These results suggest that our method can be used to identify damage in actual structures subjected to moving loads.

1. 緒言

橋梁をはじめとする交通インフラは，高度経済成長期に整備され，現在，建設後50年以上経過しており，一斉に更新時期を迎えることが予想されている¹⁾。そのため，点検，健全度診断，補修優先度，架替えの判断を効果的かつ効率的に行う必要がある。振動計測は構造系全体の構造特性を簡易に評価できる手法である。振動計測によって得られた固有振動数が健全な状態から変化した場合は部材の損傷等が疑われるが，損傷の大きさと振動数の関係は明確ではない。

Takedaらは，劣化による振動数の変化が微小であること，劣化の有無を評価できたとしても劣化箇所を特定することは難しいことなどを考慮し，振動特性よりも構造物の劣化に対して敏感に反応すると考えられる橋梁のたわみ（変位）に着目したヘルスモニタリング方法について検討している²⁾。その結果，解析と実験において劣化箇所（20%断面欠損）をおおよそ見つけることができることを確認している。

Watanabeらは，既存の小規模橋梁を対象に，特定の車両を走行させて桁のたわみを計測し，そのたわみが一致するように桁の剛性低下度を同定する簡易的な構造ヘルスモニタリングを提示している³⁾。短支間橋桁において桁の損傷分布や損傷度を個別に求めることは困難であるので，橋桁の平均的な曲げ剛性の低下度を推定するために部材の曲げ剛性を一様に低下させた場合（低下度10%~60%）について，車輌通過時の桁のたわみを解析によって求めている。

Haraらはサンプリングモアレカメラによる変位および回転角の時系列計測システムを構築し，道路橋への適用を行っている⁴⁾。サンプリングモアレ法を用いることで対象となる道路橋に格子模様を貼り付けるだけでリモート計測が可能なことを示している。

Yokoyamaらは，たわみ影響線の変化に着目しBWIMによる橋梁の異常検知の可能性について検討している⁵⁾。

移動荷重を用いた橋梁の劣化箇所同定について，Yokoyamaらは，橋梁桁の損傷箇所および程度を，橋梁たわみの遠隔計測値と曲げたわみ理論を利用して検知・同定手法の可能性について検討し，損傷位置の同定には，計測データ間隔の数倍の間隔でのデータ抽出が有効であることなどを示している⁶⁾。

筆者らは，構造物の効果的，効率的な損傷検知法の確立を目的として，非接触かつ遠距離測定が可能な4K高速カメラやレーザードップラ速度計（LDV）を用いて，衝撃加振や移動荷重を受ける単純支持はりの固有振動数および変位を計測し，損傷が固有振動数や変位に与える影響について検討した⁷⁾。また，有限要素法を用いて移動荷重を受ける単純支持はりの時刻歴応答解析を行い，損傷の有無が変位の時刻歴応答に及ぼす影響について検討した^8,9)。はりの損傷を模擬したモデルの解析を行ったところ，変位の時刻歴応答のみでは損傷の有無や損傷位置の推定は困難であったが，損傷がないはりと損傷があるはりの変位の時刻歴応答の変化率を求めると，変位の時刻歴応答の変化率には明確な特異点が認められた。この特異点を求めることにより，損傷の有無だけでなく損傷位置も探知できることが分かった。なお，この特異点は，支点以外の任意の位置で計測した変位の時刻歴応答の変化率から求めることできるため，自由に計測位置を設定できる利点がある。一方，変位の時刻歴応答には，移動荷重の大きさと速度に依存するため，荷重や速度が異なる時刻歴応答の比較はできない。変位の時刻歴応答の変化率を用いた手法を実用化するためには，健全状態と損傷状態のはりに作用させる荷重・速度が異なっていても手法が適用できるよう改良が必要である。本論文では，無次元された変位の時刻歴応答の変化率を用いることにより，移動荷重の速度や大きさに依存しない構造物の損傷検知法について検討した。

2. 振動形解析法による解析解を用いた動的応答解析

2・1　基礎微分方程式と解

3次元FEMを用いた動的応答解析の比較対象とするため，振動形解析法（モード解析法）による解析解を用いて動的応答解析を行う。Fig.1に示すような一定の集中荷重P₀がはり上を等速度v₀で通過する場合について考える。座標系は図中に示す通りで，yは上向きを正としている。

Fig. 1.

Beam subjected to moving load.

振動形解析法を用いると，解は各基準振動（基準モード）に分解してそれぞれの基準振動の解の和として求めることができる。移動する一定の集中荷重P₀を受けるはりのs次の基準座標Ψ_sに関する基礎微分方程式は，式（1）のように表される¹⁰⁾。sは固有モードの次数である。

  

$$\frac{d^2}{d{t}^2}{\psi }_s+n_s{}^2{\psi }_s=\frac{2P_0}{wAl}\text{sin}{\omega }_{s}t$$(1)

ここに，tは荷重がはりに進入する時刻をt＝0とした場合の経過時間であり，Aは断面積，lはスパン長，wは単位質量である。また，ω_sは円振動数，n_sは両端支持はりの固有円振動数であり，式（2）,（3）のように表される。

  

$${\omega }_s=\frac{s\pi v_0}{l}$$(2)

  

$$n_s=\frac{s^2{\pi }^2}{l^2}\sqrt{\frac{EI}{wA}}$$(3)

ここに，v₀は荷重の移動速度，Eはヤング率，Iは断面2次モーメントである。

式（1）の解は以下のように表される。

  

$${\psi }_s={\overline{A}}_s\text{cos}{n}_{s}t+{\overline{B}}_s\text{sin}{n}_{s}t+\frac{2P_0}{wAl}\frac{1}{n_s{}^2-{\omega }_s{}^2}\text{sin}{\omega }_{s}t$$(4)

両端支持はりの基準関数をX_sとすれば，変位yは以下のように表される。

  

$$y={\displaystyle \sum }_s{\psi }_s{X}_s$$(5)

  

$$X_s=\text{sin}\frac{s\pi x}{l}$$(6)

式（5）に式（4）, （6）を代入すると，以下が求まる。

  

$$y={\displaystyle \sum }_s\left\{{\overline{A}}_s\text{cos}{n}_{s}t+{\overline{B}}_s\text{sin}{n}_{s}t+\frac{2P_0}{wAl}\frac{1}{n_s{}^2-{\omega }_s{}^2}\text{sin}{\omega }_{s}t\right\}\times \sin \frac{s\pi x}{l}$$(7)

移動荷重がはりに進入する前に，はりは静止しているとすれば，初期条件は以下のようになる。

  

$$\begin{array}{cccc}t=0\text{において}& & y=0,& \frac{dy}{dt}=0\end{array}$$(8)

式（7）と式（8）より，${\overline{A}}_s$, ${\overline{B}}_s$が式（9）のように求まる。

  

$$\begin{array}{cc}{\overline{A}}_s=0,& {\overline{B}}_s=-\frac{{\omega }_s}{n_s}\frac{1}{n_s{}^2-{\omega }_s{}^2}\frac{2P_0}{wAl}\end{array}$$(9)

最終的に，変位yは次のように表される。

  

$$y=\frac{2P_0}{wAl}{\displaystyle \sum }_s\frac{1}{n_s{}^2-{\omega }_s{}^2}\left\{-\frac{{\omega }_s}{n_s}\text{sin}{n}_{s}t+\text{sin}{\omega }_{s}t\right\}\text{sin}\frac{s\pi x}{l}$$(10)

2・2　解析解による解析結果

Fig.2のような寸法およびH型断面を有するはりを解析対象とする。材料はアルミ合金A6063を想定し，解析パラメータをTable 1のように設定した。

Fig. 2.

Dimensions and cross section of the model to analyze.

Table 1. Parameters of Analysis.

Parameter	Symbol	Value
span length (mm)	l	3,000
cross-sectional area (mm2)	A	526
moment of inertia of area (mm4)	I	230,655
Young's modulus (N/mm2)	E	68,300
Poisson's ratio	ν	0.3
density (ton/mm3)	w	2.69×10−9
load (N)	P0	−19.6

Fig.3は，v₀＝100 mm/s，級数和を取る範囲をs＝1, 3, 5, 7, 9, 11,…と変化させた場合の時刻t＝15秒時点での変位の収束状況である。s＝15まで級数和を取ると値がほぼ収束することが確認できた。以降の計算ではs＝15を用いることとする。

Fig. 3.

Convergence of displacement at the center point. (Online version in color.)

3. 3次元FEMを用いた動的応答解析

2章では解析解を用いて移動荷重を受ける両端支持はりの変位の時刻歴応答を求めたが，解析解では一部に損傷があるはりを解析することは困難である。本章では3次元FEMを用いて，移動荷重を受けるはりの動的応答解析を行い，損傷が時刻歴応答に与える影響を検討する。また，荷重通過後の過渡応答解析についても検討する。なお，FEAソフトウェアとしては，MSC Marc/Mentat 2017を用いている。

3・1　解析方法

移動荷重を再現するため，はりを長さ方向に要素分割し，各要素は2節点開断面3次元梁要素とした。境界条件は一端ピン，他端ローラーの両端支持とした。材料定数等は解析解と同じくTable 1の値を用いている。また，解析条件はTable 2のように設定した。移動荷重は，解析の荷重ステップ毎に載荷する節点を変えることでシミュレートした。例えば，要素分割を300とした場合，ステップ数を300とし1ステップ毎に異なる節点に荷重がかかるような集中荷重を境界条件に設定している。このような境界条件は，Marcのテーブル機能と数式機能を用いることで設定することが可能である。今回は，2独立変数のテーブルを用い，独立変数1のタイプを「time」，独立変数2のタイプを「x0_coordinate」とし，以下のような数式を設定している。

  

$$\max \left(0,\left(-1\right)\times {\left(v_2-v_1\times v_0\right)}^2\right)$$(11)

 

Table 2. Analysis conditions for FEM.

Property	Setting detail
Element type	Element 79: Thin-walled Beam in Three Dimensions including Warping (2nodes).
Beam section	Create an I-shaped section with the Beam Section Editor.
Load case	Structural Dynamic Transient

ここに，v₀は荷重の移動速度，v₁は独立変数1，v₂は独立変数2である。

また，荷重の移動速度については，全荷重ケース時間により制御した。例えば，スパン長3,000 mmのはりで全荷重ケース時間を30 sとすれば，荷重の移動速度は100 mm/sとなる。このような荷重制御を行うことから，解析結果は要素分割数の影響を受けるものと考えられるため，予備解析として，要素分割数を変化させた場合のはり中央の変位の時刻歴応答を解析解による結果と比較する。

解析解による結果と，要素分割数を300, 600, 1,200, 2,400と変化させた場合の結果をFig.4に示す。Fig.5はグラフの0.5 s付近を拡大したものである。なお，移動速度は，波形の一致が確認しやすいように3,000 mm/sとしている。

Fig. 4.

Change in time-history response of displacement with increasing number of element divisions. (Online version in color.)

Fig. 5.

Change in time-history response of displacement with increasing number of element divisions (Zoomed in by about 0.5 sec.). (Online version in color.)

3・2　解析結果

移動荷重の荷重が−19.6 N，速度v₀が3,000 mm/sの場合の，はり中央変位の時刻歴応答をFig.6に示す。なお，要素分割数は3,000である。Fig.6に示す通り，FEMによる結果は解析解とほぼ一致している。また，移動荷重がはりを通過した後の過渡応答をFEMで解析した結果をFig.7に示す。荷重通過後の過渡応答を解析するには，全荷重ケース時間を荷重通過時間より大きくすることにより解析することができる。ここでは示していないが，過渡応答の変位は荷重の移動速度が増加すると大きくなる。なお，本論文の解析解では荷重通過後の過渡応答解析はできないため，Fig.7中の解析解による結果（線色：黒）は，荷重がはり上にある範囲（0~1秒）のみとなっている。

Fig. 6.

Comparison of the time-history response of displacements at the center of a beam using analytical solutions and FEM (v₀=3,000 mm/s). (Online version in color.)

Fig. 7.

Time history response of displacements including transient response. (Online version in color.)

4. 損傷のあるはりの解析

はりに損傷が生じた場合の影響を検討するため，はりの一部区間において，断面欠損が生じたモデルの解析を行う。解析においては，一部の要素の形状特性（はり断面）を変更すことによって，断面欠損をシミュレートする。Fig.8に示すように，断面欠損がない3,000 mmのアルミニウム合金製（A6063）H型はりを健全状態として，断面欠損ありのはり断面では，桁下面に一様な錆による腐食が発生した場合を4ケース想定した。なお，断面欠損位置ははりの左端から2/3の位置（左端から2,000 mm），錆による肉厚減少は2 mmとした。Table 3にCase 1~4の損傷幅を示す。はりの一部の下面に断面欠損を与えた梁を損傷状態とした。損傷幅は，はりの長手方向（x方向）の幅であり，左端から2/3（2,000 mm）の位置を中心として左右同じ幅で設定している。移動荷重の速度は500 mm/sである。

Fig. 8.

Cross section specifications and damaged position. (On-line version in color.)

Table 3. Damage width in each case.

	Damage width
Case 1	50 mm
Case 2	25 mm
Case 3	10 mm
Case 4	5 mm

はり中央の変位の時刻歴応答をFig.9に示す，変位の時刻歴応答の変化率は式（12）で算定する。

  

$$R_t\left(\text{\%}\right)=\left|\frac{\delta H_t-\delta D_t}{\delta H_t}\right|\times 100$$(12)

Fig. 9.

Comparison of time-history response of displacement of normal and damaged beams. (Online version in color.)

ここに，R_tは変化率，δH_tは健全状態のはりの変位の時刻歴応答，δD_tは断面欠損ありのはりの変位の時刻歴応答である，式（12）で求めた変位の時刻歴応答の変化率をFig.10に示す。健全状態とCase1~4を比較すると断面欠損の有無によるはりの変位の時刻歴応答の差はわずかで，時刻歴応答の結果を用いてはりの欠陥の有無や断面欠損位置を推定することは不可能である。しかし，断面欠損を有するはりの変位の時刻歴応答と無損傷の変位の時刻歴応答の変化率は，荷重が断面欠損位置を通過した時刻付近（t＝4.0 s）において特異点が確認できる。これは，500 mm/sの一定の速度で4.0 s進んだ位置（左から2,000 mmの位置）なので，Fig.8の損傷位置と一致する。

Fig. 10.

Rate of change of time-history response of displacement for each case. (Online version in color.)

5. 無次元変位の時刻歴応答の変化率

3章で示したように，移動荷重の大きさ，速度によって時刻歴応答が異なる，実構造物を想定すると，移動荷重の大きさと速度を逐次計測することは困難であるので，移動荷重の大きさや速度に依存しない形での無次元変位の変化率について検討する，

5・1　移動速度の影響

荷重の移動速度v₀を1,000 mm/s, 3,000 mm/sと変化させた場合の，はり中央の変位の時刻歴応答をFig.11（a）~（b）に示す。Fig.11より，移動速度が増加した場合の変位振幅の増加をFEM解析でも再現できている。また，解析解ともほぼ一致している。なお，要素分割数は3,000である。

Fig. 11.

Influence of the speed of moving load on the time history response of displacement. (Online version in color.)

5・2　移動荷重の大きさの影響

荷重のP₀を98Nに変化させた場合の，はり中央の変位の時刻歴応答の変位をFig.12，最大変位部分を拡大した図をFig.13に示す。荷重速度は3,000 mm/s，要素分割数は3,000である。Fig.12, 13より，荷重の大きさを大きくした場合，変位振幅の増加をFEM解析でも再現できている。また，解析解ともほぼ一致している。

Fig. 12.

Comparison of the time-history response of displacements at the center of a beam using analytical solutions and FEM (v₀=3,000 mm/s, 98 N). (Online version in color.)

Fig. 13.

Comparison of the time-history response of displacements at the center of a beam using analytical solutions and FEM (v₀=3,000 mm/s, 98 N) (Zoomed in by about 0.5 sec.). (Online version in color.)

5・3　無次元変位の変化率

4章の方法では，変位の時刻歴応答の変化率を求める際に，健全状態のはりと断面欠損ありのはりの荷重の大きさおよび速度が一致している必要がある。そこで，変位の時刻歴応答の変化率の正規化について検討する。

荷重の大きさを10 kg, 20 kg，荷重速度を100 mm/s, 200 mm/s, 300 mm/sとした6パターンの荷重を，損傷ありのはりに作用させたときのはり中央の変位の時刻歴応答をFig.14に示す。Fig.14からわかる通り，このままでは各時刻歴応答を比較することは困難である。次に，縦軸は時刻歴応答の変位の絶対値の最大値が1となるように，横軸は時刻に荷重の移動速度を乗じることで荷重位置に正規化した変位の時刻歴応答をFig.15に示す。正規化を行うことにより，変位の時刻歴応答の形状がほぼ一致するため，各時刻歴応答間の変化率を求めることができる。 Fig.16は健全状態（200 mm/s, 10 kg）のはりと損傷を有するはりの無次元化した時刻歴応答との変化率である。なお，変化率は式（12）を用いて算出した。損傷位置は左端から1/3の位置に幅25 mm，深さ1 mmである。Fig.16よりわかる通り，変位の時刻歴応答を正規化することによって，荷重・速度が異なる場合でも変化率を算出することできる。Fig.16でも損傷位置に特異点が現れることが確認でき，速度と荷重の大きさに依存しない形で損傷箇所同定が可能である。

Fig. 14.

Time history of displacement at the center of a beam. (Online version in color.)

Fig. 15.

Time history of normalized displacement at the center of a beam. (Online version in color.)

Fig. 16.

Rate of change of time history response of non-dimensional displacement at the center point of the beam. (Online version in color.)

6. 結言

本論文では，移動荷重を受けるはりの構造損傷を同定することを目的として， 振動形解析法による解析解，3次元FEMを用いた動的応答解析を行い，無次元変位の時刻歴応答の変化率を用いた損傷同定手法を提案した。

振動形解析法による解析解による変位の時刻歴応答と3次元FEMによる時刻歴応答の解析結果を比較したところ，3次元FEMによる解析結果は，移動速度を変化させた場合でも解析解による結果とほぼ一致することが確認できた。また，3次元FEMを用いた場合，解析解では求めることが難しい，移動荷重がはりを通過した後の過渡応答を求めることができることも確認できた。

続いて，はりの左端から2/3の距離の断面形状を変え，損傷を模擬したモデルについて，3次元FEMを用いて解析を行ったところ，変位の時刻歴応答のみでは，はりの損傷の有無や損傷位置の推定は困難であったが，損傷のない健全なはりの変位の時刻歴応答と損傷のあるはりの時刻歴応答について変化率を求めたところ，移動荷重が損傷位置を通過する時刻において特異点が現れ，損傷の有無および損傷位置を推定することができた。

さらに，走行荷重を受ける実構造物への本手法の適用を目的として，無次元化変位を用いた時刻歴応答について検討を行った。変位の時刻歴応答を，縦軸は時刻歴応答の変位の絶対値の最大値が1となるように，横軸は時刻に荷重の移動速度を乗じ荷重位置になるように正規化することで，荷重の大きさおよび移動速度が異なる時刻歴応答を比較できることを示した。また，無次元変位を用いた場合でも，変位の時刻歴応答の変化率において損傷位置に特異点が生じることを示し，荷重の大きさおよび移動速度が異なる計測結果を用いた場合でも，損傷の有無および損傷位置の同定が可能であることを示した。本論文の手法をさらに発展させることで，移動荷重を用いた実構造物の損傷同定が可能になるものと考えられる。

文献

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