Sur les Fonctions Analytiques de Plusieurs Variables, VIII-Lemme Fondamental

Kiyoshi OKA

doi:10.2969/jmsj/00310204

Kiyoshi OKA

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ジャーナルフリー

1951 年 3 巻 1 号 p. 204-214

DOI https://doi.org/10.2969/jmsj/00310204

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Published: 1951 Received: - Available on J-STAGE: 2006/08/29 Accepted: - Advance online publication: - Revised: -
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訂正日: 2006/08/29 訂正理由: - 訂正箇所: 引用文献情報訂正内容: Right : (1) Ces problèmes sont fondés sur H. Behnke et P. Thullen, Theorie der Funktionen mehrerer Komplexer Veränderlichen, 1934. Nous allons les expliquer en formes précises. Soient D, D₀ deux domaines connexes ou non sur l'espace de n variables complexes tels que D₀ _??_ D (c'est-à-dire que D₀ soit un «Teilbereich» de D); nous appellerons que D₀ est holomorphe-convexe par rapport à D, si D₀ _??_ H, H' étant la «Regularitätshulle» de D₀, et encore si, pour tout domaine connexe ou non Δ₀ tel que Δ₀ _??_ D₀ (c'est-à.dire que Δ₀ ⊂D₀ et Δ₀<<D₀), on peut trouver un domaine connexe ou non Δ tel que Δ₀ ⊂ Δ _??_ D₀ de façon qu à tout point P de D₀ -Δ, il corresponde une fonction f holomorphe dans _??_ telle que |f(P₀)|>max|f(Δ₀)|. Spécialement, si D₀ est ainsi par rapport à lui-mème, nous. l'appelons avec H. Behnke d'être holomorphe-convexe (regulär-konvex). Les problémes sont alors: Problèmes de Cousin. Trouver une fonction meromorphe (ou holomorphe) admettant les pôles (ou les zéros satisfaisant à une certaine condition) donnés dans un domaine holomorphe-convexe. Problème de développement. Soit D₀ un domaine (connexeou non) holomorphe-convexe par rapport à D; trouver, pour toute fonction holomorphe f₁, une série de fonctions holomorphes dans D, convergente uniformément vers f dans tout domaine connexe ou non Δ₀ tel que Δ₀ _??_ D₀. Porblème des convexités. Tout domaine psseudoconvexe est il holomorphe-convexe? Pour les domaines univalents, on pent remplacer «holomorphe-convexe» par «domaine d'holomorphie», grâce au théorème de H. Cartan et P. Thullen.
(2) Les Mémoirs précédents sont: I-Domaines convexes par rapport aux fonctions rationnelles, 1936; II-Domaines d'holomorphie, 1937; III-Deuxièmes problèmes de Cousin, 1939 (Journal of Science of the Hiroshima Univarsity); IV-Domaines d'holomorphie et domaines rationnellement convexes, 1941; V-L'intégral de Cauchy, 1941. (Japanese Journal of Mathematics); Domaines pseudoconvexes,1942 (Tohoku Mathematical Journal); VII-Sur quelques notions arithmetiques, 1950 (Bulletin de la Société Mathématique de France).
(3) Précisément dit, pour le deuxième problème de Cousin, nous avons montrer une condition nécessaire et suffisante pour les zéros; et pour le problème des convexites, nous l'avons explique pour les deux variables complexes, pour dimenuer la répitation ultérieure inévitable.
(4) L'auteur l'a écrit aux détails en japonais à Prof. T. Takagi en 1943.
(5) H. Behnke et K. Stein ont souvent indiqué que ce théorème est applicable aux domains multivalents sans point critique.
(6) Nous allons expliquer brièvement sur le cours des recherches des idéaux holomorphes. C'est W. Rückert qui a transplanté la noton “idéal” du champ de fonctions algebriques au champ de functions analytiques (1933, Math. Annalen, Vol 107, pp 259-281); et c'est H. Cartan qui a premièrement remarqué la différence essentielle, avec un résultat important (1940, cité dans le Mémoire VII). Cartan a encore exposé: Idéaux de fonctions analytiques de n variables complexes (Annales de l'Ecole Normale Supérieure, (3), LXI-); Idéaux et modules de fonctions analytiques de variables complexes (1950, Bulletin de la Sociéte Mathématique de France). Or l'auteur a exposé le Mémoire VII, sans connaitre l'existence du premier de ces deux Memoires de Cartan et du Memoire du Rückert; nous allons donc examiner le Mémoire-là en comparant avec les Mémoires-ici: Le Mémoire VII consiste des deux parties, dont la premiére montre que les problémes (C₁), (C₂) et (E) se réduissent au seul problème (K); ce qui est déjà indiqué par Cartan, sans démonstration, mais avec toutes les préparations. Dans la deuxième partie, l'auteur a d'abord préparé le théorème du réste pour résoudre le probléme (K); ce théorème est déjà exposé et utilizé par Rückert.
(7) Une variété caractéristique est un ensemble de points qui s'exprime localement par l'ensemble des zéros communs d'un nombre fini de fonctions holomorphes.
(8) La projection de l'ensemble des points (x', y') sur l'espace (x) est l'ensemble des points (x').

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