Dynamic Control of Flatness and Elongation of the Strip in a Skin Pass Mill

Synopsis:

This paper proposes a dynamic control method of flatness and elongation of the strip in a skin pass mill. In the conventional feedback control, the target values of the flatness and the elongation are fixed. However, the elongation control to the fixed target value is often insufficient to achieve the strip flatness when the work roll deflection is caused by the rolling force manipulation of the elongation control. To improve the flatness control performance, the elongation control in consideration of the flatness is proposed. Periodically, the proposed method solves the optimization problem. The objective function including the control error of the flatness is minimized subject to the constraints such as the range of the elongation, strip thickness and control outputs. In addition, the feedforward control which suppresses the elongation deviations during mill speed change is also proposed. It is difficult to predict accurate rolling force online using a physical model because the computation load is very heavy. The proposed method utilizes the relationship between strain rate and deformation resistance of the strip which is measured offline and the designated rolling force change from the lowest to top rolling speed. This method doesn’t require a physical model and heavy computation load. The proposed method is evaluated by simulation and experiments and the results show that this control method has improved the flatness and the elongation control performance.

1. 緒言

近年，熱延鋼板の平坦度や機械的性質等の品質への要求が高まっている。熱延鋼板の製造において，調質圧延工程は品質を造り込む最終工程であり，被圧延材に対して，圧延機入側と出側で所定の張力をかけつつ，伸び率にして数%の軽圧下で圧延することにより，平坦度を改善し，降伏点伸びの解消および材料硬度と表面粗さといった品質の調整を行う。

調質圧延の制御は，被圧延材の先端部で所望の平坦度と伸び率を達成する圧延条件とアクチュエータの操作量を設定するセットアップ制御と，圧延中に制御量である板幅方向の平坦度分布と伸び率が目標値となるように操作量をリアルタイムに設定するダイナミック制御(フィードバック制御とフィードフォワード制御)からなる。本稿では，4段式圧延機を対象とした調質圧延のダイナミック制御を取り扱う。この制御における操作量は，片圧下位置(レベリング)，ワークロールベンダ圧力(ベンダ圧力)，圧延荷重とする。なお，圧延荷重は圧延の結果として表れる量であるが，設定した圧延荷重となるように圧下位置を調整するマイナーループにより，操作量として取り扱うことができる。プロセス情報としては，圧延機出側に設置される平坦度計と圧延機前後のロール速度を用いて，平坦度分布と伸び率がそれぞれ測定される。また，その他，圧延機出側の板厚や圧延荷重，圧延速度がある。

これまでに様々な平坦度と伸び率の制御手法が提案されている。平坦度制御手法としては，平坦度分布実績値を対称成分と非対称成分に分解し，これらの成分と目標成分との偏差の2乗和からなる凸関数を最小化する操作量(レベリング，ベンダ圧力)を局所探索法で求める手法¹⁾，モデル予測制御³⁾を応用した手法²⁾，オブザーバによる外乱推定値を用いた多変数制御手法⁹⁾等が提案されている。ここで，文献⁹⁾では，圧延荷重変動が平坦度外乱となると指摘しており，その影響を低減するためのフィードフォワード制御を提案している。これらのように，従来，平坦度制御は，複数の操作量で平坦度分布を目標分布に近づけるように制御する多入力多出力系で構築され，一部の手法は，制約を取り扱えるため実用性にも優れている。伸び率制御の従来手法としては，伸び率を圧延荷重または張力の調整により鋼板全長で一定の目標値に制御するフィードバック制御^4,5)，セットアップ荷重の誤差に起因する伸び率不良部を短縮化するために圧延荷重指令値を逐次修正するダイナミックセットアップ制御⁶⁾，加減速後の荷重変動を予測し，それを打ち消すように圧延荷重を制御することで，間接的に圧延機前後の鋼板張力の変動を抑制し，伸び率制御精度を向上させるフィードフォワード制御¹⁰⁾がある。これらの伸び率制御手法は，圧延荷重または圧延機前後の鋼板張力，またはその両方を操作し，伸び率がコイル内で一定の目標値となるように制御する一入力または多入力一出力系で構築される。以上のように，平坦度制御と伸び率制御は，それぞれ独立して構築されることが一般的である。

さて，圧延荷重変動の平坦度への影響は，ワークロールのたわみ状態の変化に起因するものと考えられ，他の操作量変更量(例えばベンダ圧力変更量)の平坦度に対する影響と完全に一致しないことから文献⁹⁾のフィードフォワード制御を適用したとしても，圧延荷重変動の平坦度への影響を完全に除去することは難しい。また，文献⁹⁾では加減速における圧延荷重変動を想定しているが，この他には伸び率制御による圧延荷重変更量があり，伸び率実績値を目標値に制御するために，その変更量が大きくなる状況もある。この場合には，除去しきれない平坦度外乱の影響が大きくなるという干渉のため，平坦度が悪化するという課題がある。

本稿では，伸び率が目標値に一致していなくても管理範囲内に制御できれば，被圧延材の材料硬度や降伏点伸び解消といった材料特性を確保できる点に着目し，伸び率を一定の目標値ではなく管理範囲内に緩和して制御することで，平坦度への影響を考慮した圧延荷重設定を可能とし，平坦度の制御性を向上させる最適制御手法を提案する。つまり，従来は伸び率制御の操作量としている圧延荷重も平坦度制御の操作量として活用する。

また，熱延鋼板の調質圧延は低ひずみ域での圧延の上，加減速による圧延速度変化が大きいため，平均変形抵抗もそれに応じて大きく変化する。したがって，フィードフォワード制御なしでは，伸び率が変動し，場合によっては管理範囲外となる。先に示したフィードフォワード制御¹⁰⁾は，加減速前後で圧延荷重変動を十分小さくするように行われるが，速度変更前後の平均変形抵抗の違いにより，伸び率は変動する。この伸び率変動の除去には，平均変形抵抗変化による圧延荷重変化(δP=(∂P/∂k_m)Δk_m，ここで，k_mは平均変形抵抗，Δは微小変動)と等しい圧延荷重変更量が必要となる。また，文献¹¹⁾で，調質圧延において圧下力はほとんどワークロール偏平に用いられると指摘しているように，ワークロールが非円弧変形する圧延となる。このような圧延の圧延荷重を予測する物理モデル(弾塑性モデル)は計算負荷が高く，フィードフォワード制御で要求されるオンライン計算に不向きであるし，オフラインで計算したものを活用しようとしたときも，多品種小ロット生産が志向される状況下では，実績との合わせ込みに莫大な時間がかかり，現実的ではない。また，冷間圧延で一般的に使用され，計算負荷が比較的低いBland and Fordの圧延荷重モデルを調質圧延に適用しても，非円弧圧延を前提としたモデルではないため，予測精度が不良という指摘¹²⁾もある。このようにモデル式を用いる場合にも調整上やモデル精度上の課題がある。他方，初期通板速度から最高速度への加速後，または，最高速度から尾端速度への減速後の定常状態において，伸び率が速度変更前の水準となるのに必要な圧延荷重変更量の実績値は，フィードバック制御の結果として現れる。そして，ある圧延速度域での加減速中に伸び率を変化させないための圧延荷重変更量は，その時の平均変形抵抗変化に比例する。したがって，過去の操業結果により定量化可能である加減速における圧延荷重変更量実績値と，事前に実験により同定した変形抵抗変化と圧延速度変化の関係の関係式を活用すれば，物理モデルなしに，ある速度域での加減速時に変更すべき圧延荷重変更量は計算できる。そこで，本稿では，物理モデル不要で調整可能な加減速における伸び率変動を抑制するフィードフォワード制御も合わせて提案する。

本稿では，2章で，調質圧延工程での管理指標である平坦度と伸び率について述べた後，3章で提案する制御手法について説明する。そして，4章では，シミュレーション結果と実験結果について示し，最後に5章で結論をまとめる。

2. 平坦度と伸び率

調質圧延工程(Fig.1)では，平坦度と伸び率で品質管理する。平坦度は，圧延方向の伸びの幅方向における不均一性をあらわす伸び差率や急峻度という指標で定量化される。伸び差率は，幅中央位置の圧延方向の伸びLを基準としたときの幅中央位置以外の任意の幅位置における伸びと幅中央位置の伸びとの差ΔLとの比率ΔL/Lで定義される(Fig.2)。そして，この伸び差率に10⁵を掛けた値は，I-unitという単位として，一般的に品質管理や平坦度制御に使用される。代表的な平坦度不良の形態に耳伸びや腹伸びがあるが，耳伸びは，伸び差率の板幅方向分布が下に凸であり，腹伸びは，伸び差率の板幅方向分布が上に凸となる。また，その他の平坦度不良としては，伸び差率の板幅方向分布が，上記に当てはまらない複合伸びと呼ばれる形態がある。これらの全ての平坦度の形態は，伸び差率の板幅方向分布で把握することが可能であるが，平坦度を構成するモード成分やその大きさの定量的評価には，伸び差率の板幅方向分布を直交関数の一次結合で近似する方法^7,8)がある。以降，本稿では，平坦度指標として伸び差率[I-unit]を用いる。

Fig. 1.

4Hi hot skin pass mill.

Fig. 2.

Flatness evaluation of a strip.

次に，伸び率eは，鋼板の入側速度V₁と出側速度V₂，または，入側板厚h_inと出側板厚h_outを使用してe=(V₂−V₁)/V₁×100=(h_in−h_out)/h_out×100⁵⁾で定義される。そして，被圧延材毎に伸び率の目標値および管理範囲(上限値と下限値に挟まれる範囲)が設定されている。なお，熱延調質圧延では，その目標値は0.5%~2.0%の間で設定されることが多い。

3. 伸び率管理範囲を活用した最適制御と加減速における伸び率変動を抑制するフィードフォワード制御

圧延荷重変動は，ワークロールのたわみ状態を変化させ，平坦度に影響する。その一例として，圧延荷重の変化量∂Pに対する平坦度の変化量∂Fを表す影響係数∂F/∂Pの実績値をFig.3に示す。ここで，板幅位置は，−1から+1の範囲で正規化している。この図から，圧延荷重を上昇させると板端部側の伸び差率が大きくなり，耳伸びが促進される方向に平坦度は変化する。このように平坦度に対して影響がある圧延荷重を平坦度制御の操作量として活用することで，平坦度は改善すると考えられる。

Fig. 3.

Effect of rolling force change on flatness distribution.

本稿では，被圧延材毎の伸び率が管理範囲を満たせば，所望の材料硬度や降伏点伸び解消といった特性を確保できる点に着目し，伸び率を一定の目標値ではなく管理範囲内に緩和して制御することで，平坦度を改善する圧延荷重を設定可能とした最適制御手法を提案する。

また，調質圧延では，加減速による圧延速度変化による平均変形抵抗変化も大きいため，フィードフォワード制御なしでは，伸び率変動が大きくなり，場合によって伸び率管理範囲外となる。緒言で述べたように，圧延荷重を予測する物理モデルをフィードフォワード制御に活用しようとする際には，厳密なモデルの場合では計算負荷と調整負荷が問題となり，簡易的なモデルの場合では予測精度が問題となる。そこで，本稿では，過去の操業結果により定量化できる加減速における圧延荷重変更量実績値と，事前に実験により同定した変形抵抗変化(降伏点変化)と圧延速度変化の関係の関係式を活用した，物理モデルなしに適用できるフィードフォワード制御を提案する。

本章では，まず3・1節で制御対象のモデル式を示し，続く3・2節で，そのモデルを用いた最適制御手法を示す。3・3節では，加減速における伸び率変動を抑制するフィードフォワード制御手法を示す。

3・1 制御対象のモデル式

制御対象は，操作量をレベリング変更量指令値Δu₁[μm]，ベンダ圧力変更量指令値Δu₂[kN]，圧延荷重変更量指令値Δu₃[kN]とし，制御量を平坦度変化量Δy₁，Δy₂，…，Δy_N[I-unit](幅位置に対応したNチャンネル)と伸び率変化量Δy_N+1[%]のN+1変数とする多入出力系である。これを，一次遅れ系の伝達関数を要素に持つ伝達関数行列G(s)でモデル化すると式(1)となる。

  

$$\Delta Y\left(s\right)=G\left(s\right)\Delta U\left(s\right)=\left[\begin{array}{ccc}\frac{g_{1.1}}{T_{1}s+1}& \frac{g_{1.2}}{T_{2}s+1}& \frac{g_{1.3}}{T_{3}s+1}\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ \frac{g_{N.1}}{T_{1}s+1}& \frac{g_{N.2}}{T_{2}s+1}& \frac{g_{N.3}}{T_{3}s+1}\\ \frac{h_1}{T_{1}s+1}& \frac{h_2}{T_{2}s+1}& \frac{h_3}{T_{3}s+1}\end{array}\right]\Delta U\left(s\right)$$(1)

ここで，ΔY(s)とΔU(s)は，それぞれ次式で表される出力ベクトルと入力ベクトルとし，sはラプラス演算子とする。

  

$$\begin{array}{l}\Delta Y\left(s\right)={\left[\Delta y_1\left(s\right)\Delta y_2\left(s\right)\cdots \Delta y_N\left(s\right)\Delta y_{N+1}\left(s\right)\right]}^T\\ \Delta U\left(s\right)={\left[\Delta u_1\left(s\right)\Delta u_2\left(s\right)\Delta u_3\left(s\right)\right]}^T\end{array}$$

そして，G(s)に含まれるg_j,i(i=1，2，3，j=1，2，…N)は平坦度に対する操作量の影響係数，h_i(i=1，2，3)は伸び率に対する操作量の影響係数，T_i(i=1，2，3)は時定数を表す。ここで，変数i(1≤i≤3)は昇順にレベリング変更量指令値，ベンダ圧力変更量指令値，圧延荷重変更量指令値に対応するインデックスである。

さて，制御対象への入力をサンプル周期T_s内で一定とする離散時間入力とし，T_sを制御対象の時定数より十分長く取れば，サンプル点上で出力(平坦度と伸び率)は定常状態に達しているとみなせる。したがって，式(1)は，式(2)に示す離散時間kとする出力ベクトルΔY(k)，入力ベクトルΔU(k)とゲイン行列G'を用いた離散時間モデルで表現できる。

  

$$\Delta Y\left(k+1\right)=G^{\prime }\Delta U\left(k\right)=\left[\begin{array}{ccc}{g}_{1.1}& g_{1.2}& g_{1.3}\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ g_{N.1}& g_{N.2}& g_{N.3}\\ h_1& h_2& h_3\end{array}\right]\Delta U\left(k\right)$$(2)

ここで，

  

$$\begin{array}{l}\Delta Y\left(k\right)={\left[\Delta y_1\left(k\right)\Delta y_2\left(k\right)\cdots \Delta y_N\left(k\right)\Delta y_{N+1}\left(k\right)\right]}^T\\ \Delta U\left(k\right)={\left[\Delta u_1\left(k\right)\Delta u_2\left(k\right)\Delta u_3\left(k\right)\right]}^T\end{array}$$

3・2 伸び率管理範囲を活用した最適平坦度フィードバック制御

本節では，3・1節で示したモデル式(式(2))を用いた最適平坦度フィードバック制御を提案する。従来，伸び率を一定の目標値としているため，その目標値に対応する圧延荷重がワークロールのたわみ状態に影響し，平坦度の制御性が劣化する可能性があるという課題があった。これに対し，提案法では，制御周期毎にモデル式(式(2))で予測した1制御周期後の平坦度と目標値の偏差の2乗和が最小となるような操作量を，伸び率の管理範囲，板厚管理範囲等の線形不等式で記述した制約下で最小化する2次計画問題を解くことで求める。そして，得られた操作量を制御対象に適用する。ここで，2次計画問題の制約式で伸び率の管理範囲を設定することで，圧延荷重の設定値を伸び率が管理範囲内となる範囲で設定可能となり，さらに，圧延荷重操作量が平坦度に与える影響を目的関数に取り入れることで制御性の向上を図っていることが特徴である。物理的には，ワークロールたわみの平坦度への影響と伸び率の管理範囲を考慮して，圧延荷重を設定していることに相当する。

次に，本最適制御にて解く2次計画問題の目的関数と制約条件を分けて述べる。

目的関数

目的関数には，平坦度の制御偏差と伸び率の制御偏差と入力の大きさを評価する項を導入した式(3)を用いる。

  

$$f=\alpha {\displaystyle \sum }_{i=1}^N{\left(r_i-y_i-{\displaystyle \sum }_{j=1}^3{g}_{i,j}\Delta u_j\right)}^2+\beta {\left(r_{N+1}-y_{N+1}-{\displaystyle \sum }_{j=1}^3{h}_j\Delta u_j\right)}^2+{\displaystyle \sum }_{j=1}^3{z}_j\Delta u_j^2$$(3)

ここで，r_i(i=1，2，…，N)とy_i(i=1，2，…，N)はN分割された板幅位置における平坦度分布目標値と実績値を表し，r_N+1とy_N+1は現時刻の伸び率目標値と実績値を表す。そして，αとβは，平坦度と伸び率という異なる単位の制御量に対して，優先度をつけて評価するための0以上の値のパラメータである。なお，本手法では，平坦度の制御性を優先するため，β=0と設定する。z_jは入力の大きさを抑制するための0以上の値に設定されるパラメータである。なお，β=0とした場合，伸び率は目的関数には含まれなくなるが，以降に示す制約条件(c)により，それが管理範囲内となるように操作量が決定される。

次に，式(3)を2次計画問題の標準的な形式に変換するために，その行列表現を導出する。R=[r₁ r₂ … r_N r_N+1]^T，Y=[y₁ y₂ … y_N y_N+1]^T，Q_(N+1)×(N+1)=diag(α，…，α，β)とおき，式(2)のG'とΔUを用いると，式(3)は以下の行列表現になる。

  

$$\begin{array}{l}f={\left(R-Y-G\text{'}\Delta U\right)}^{T}Q\left(R-Y-G\text{'}\Delta U\right)+\Delta U^{T}R\Delta U\\ =\frac{1}{2}\Delta U^T\left(2G^{\text{'}T}Q{G}^{\prime }+2R\right)\Delta U-2{\left(R-Y\right)}^{T}Q{G}^{\prime }\Delta U+{\left(R-Y\right)}^{T}Q\left(R-Y\right)\end{array}$$

ここで，第3項は最小化に関係しないから，結局，以下の目的関数f'を最小化すればよい。

  

$$f\text{'}=\frac{1}{2}\Delta U^T\left(2G^{\text{'}T}Q{G}^{\prime }+2R\right)\Delta U-2{\left(R-Y\right)}^{T}Q{G}^{\prime }\Delta U$$

制約条件

操作量の大きさ，操作量の時間変更量，伸び率，板厚の制約式を示す。

(a)操作量の大きさの制約

  

$$b_i^{\text{LL}}\le u_i^{\text{Act}}+\Delta u_i\le b_i^{\text{UL}},i=1,2,3$$

ここで，u_i^Actは，操作量の実績値を表し，b_i^ULとb_i^LLは，それぞれ，上限制約値と下限制約値を表す。これらの制約式を以下の行列表記(4)で集約する。

  

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\Delta u_1\\ \Delta u_2\\ \Delta u_3\end{array}\right]\le \left[\begin{array}{c}{b}_1^{\text{UL}}-u_1^{\text{Act}}\\ -b_1^{\text{LL}}+u_1^{\text{Act}}\\ b_2^{\text{UL}}-u_2^{\text{Act}}\\ -b_2^{\text{LL}}+u_2^{\text{Act}}\\ b_3^{\text{UL}}-u_3^{\text{Act}}\\ -b_3^{\text{LL}}+u_3^{\text{Act}}\end{array}\right]$$(4)

(b)操作量の時間変更量制約

  

$$-b_i^{\Delta \text{UL}}\le \Delta u_i/T_s\le b_i^{\Delta \text{UL}},i=1,2,3$$

ここで，b_i^ΔULは，時間変更量の制約値を表す正の値であり，T_sは制御周期を表す。

これらの制約式を以下の行列表記(5)で集約する。

  

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\Delta u_1\\ \Delta u_2\\ \Delta u_3\end{array}\right]\le \left[\begin{array}{c}{T}_s{b}_1^{\Delta \text{UL}}\\ T_s{b}_1^{\Delta \text{UL}}\\ T_s{b}_2^{\Delta \text{UL}}\\ T_s{b}_2^{\Delta \text{UL}}\\ T_s{b}_3^{\Delta \text{UL}}\\ T_s{b}_3^{\Delta \text{UL}}\end{array}\right]$$(5)

(c)伸び率制約

  

$$b^{\text{eLL}}\le y^{N+1}+{\displaystyle \sum }_{i=1}^3{h}_i\Delta u_i\le b^{\text{eUL}}$$

ここで，y^N+1は伸び率の実績値を表し，b^eULとb^eLLは，それぞれ上限制約値と下限制約値を表す。

これらの制約式を以下の行列表記(6)で集約する。

  

$$\left[\begin{array}{ccc}{h}_1& h_2& h_3\\ -h_1& -h_2& -h_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\Delta u_1\\ \Delta u_2\\ \Delta u_3\end{array}\right]\le \left[\begin{array}{c}{b}^{\text{eUL}}-y^{N+1}\\ -b^{\text{eLL}}+y^{N+1}\end{array}\right]$$(6)

(e)板厚制約

板厚制約式を得るために，まず伸び率と板厚の関係式である式(7)を考える。

  

$$e=\frac{h_{in}-h_{out}}{h_{out}}\times 100$$(7)

ここで，圧延機入側板厚と出側板厚は，それぞれh_in，h_outである。

次に，式(7)をh_outで偏微分すると，式(8)を得る。

  

$$\frac{\partial e}{\partial h_{out}}=\frac{-h_{in}}{h_{out}^2}\times 100$$(8)

これにより，出側厚の微小変化Δh_outと伸び率の微小変化Δeの関係式(9)を得る。

  

$$\begin{array}{l}\Delta e=\frac{\partial e}{\partial h_{out}}\Delta h_{out}=\frac{-h_{in}}{h_{out}^2}\times 100\Delta h_{out}\\ \leftrightarrow \Delta h_{out}=-\Delta e\frac{h_{out}^2}{h_{in}}\frac{1}{100}\end{array}$$(9)

さて，出側板厚が微小変化したときに，板厚が上下限制約範囲内であるという制約式は式(10)となる。

  

$$b^{\text{hLL}}\le h_{\text{out}}+\Delta h_{\text{out}}\le b^{\text{hUL}}$$(10)

ここで，h_outは，出側厚の実績値を表し，b^hULとb^hLLは，それぞれ，出側厚の上限制約値と下限制約値を表す。

式(10)に式(9)を代入すると，次に示す式(11)が得られる。

  

$$b^{\text{hLL}}\le h_{\text{out}}-\Delta e\frac{h_{out}^2}{h_{in}}\frac{1}{100}\le b^{\text{hUL}}$$(11)

これは，次の不等式に変形できる。

  

$$-100\left(b^{\text{hUL}}-h_{\text{out}}\right)\frac{h_{in}}{h_{out}^2}\le \Delta e\le -100\left(b^{\text{hLL}}-h_{\text{out}}\right)\frac{h_{in}}{h_{out}^2}$$

ここで，モデル式でΔe=Σ³_i=1h_iΔu_iであるから，Δu_iを使用した以下の制約式を得る。

  

$$-100\left(b^{\text{hUL}}-h_{\text{out}}\right)\frac{h_{in}}{h_{out}^2}\le {\displaystyle \sum }_{i=1}^3{h}_i\Delta u_i\le -100\left(b^{\text{hLL}}-h_{\text{out}}\right)\frac{h_{in}}{h_{out}^2}$$

この制約式を行列表記すると，下記の式(12)となる。

  

$$\left[\begin{array}{ccc}{h}_1& h_2& h_3\\ -h_1& -h_2& -h_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\Delta u_1\\ \Delta u_2\\ \Delta u_3\end{array}\right]\le \left[\begin{array}{c}-100\left(b^{\text{hLL}}-h_{\text{out}}\right)\frac{h_{in}}{h_{out}^2}\\ 100\left(b^{\text{hUL}}-h_{\text{out}}\right)\frac{h_{in}}{h_{out}^2}\end{array}\right]$$(12)

これまでに示した制約式である式(4)，式(5)，式(6)，式(12)を集約した行列A_c∈R^16×3，B_c∈R^16×1を用いて，A_cΔU≤B_cという線形不等式になり，これを2次計画問題の制約条件式とする。

3・3 フィードフォワード制御

本節では，物理モデル不要で調整可能な加減速における伸び率変動を抑制するフィードフォワード制御を説明する。本制御で調整する圧延荷重は，圧延荷重変更量指令値を満足するように圧下位置が変更された結果として表れる量であり，これにより伸び率を一定に制御する。

加減速における出側板厚変化を0とできれば，伸び率は一定となる。そして，伸び率を一定とする圧延荷重変更量は平均変形抵抗変化による圧延荷重変化(δP=(∂P/∂k_m)Δk_m，ここで，k_mは平均変形抵抗，Δは微小変動)と等しい。ここで，Δk_mは事前の実験により把握することが可能であるが，モデルで調質圧延における圧延荷重を予測するには精度上の課題がある。

緒言で述べた通り，加減速後に伸び率が速度変更前の水準となるのに必要な圧延荷重変更量は，過去の操業結果により定量的に把握することが可能である。また，加減速中に伸び率を変動させないために必要となる圧延荷重変更量は，平均変形抵抗変化に比例する。したがって，加減速中のある速度区間で必要となる圧延荷重変更量は，加減速後に伸び率が速度変更前の水準となるのに必要な圧延荷重変更量に，ある速度区間での平均変形抵抗変化と速度変更前から速度変更後にかけての平均変形抵抗変化の比率を掛けた値となる。ここで，調質圧延では，ひずみ速度が圧延速度にほぼ比例することから，Fig.4に示す下降伏点とひずみ速度の実験値は，下降伏点と圧延速度の関係に変換できる。ここで，この実験値のひずみ速度は，想定する圧延速度区間(低速部から最高速度)に対応した値である。さらに，調質圧延では，平均変形抵抗が下降伏点とほぼ等しいため，この下降伏点と圧延速度の関係は，変形抵抗と圧延速度の関係とみなせる。これで，上記のフィードフォワード制御に必要な情報が揃う。以下では具体的な設計方法について述べる。

Fig. 4.

Relationship between strain rate and lower YS.

本制御では，圧延先端部の低速域から，圧延中の最高速度までの速度範囲を複数に等分割しておき，加速または減速で，各速度分割範囲で変更すべき圧延荷重(設計者が設定する低速域から最高速度までに変更させる圧延荷重に，下降伏点とひずみ速度の実験式にもとづく圧延荷重配分ゲインg_diを掛けた値)が達成できるようにする。これには，制御周期毎に，現時刻の圧延速度に応じて圧延荷重配分ゲインg_diを設定し，それに後に示す制御ゲインg_cと加速率実績値α_Acc(=(現時刻の圧延速度−前制御周期の圧延速度)/T_S)をかけることで，圧延荷重変更量指令値ΔP_FFをもとめる。これは，以下の式(13)となる。

  

$$\Delta P_{FF}=g_c{g}_{di}{\alpha }_{\text{Acc}}$$(13)

制御ゲインと圧延荷重配分ゲインの設計手順

ステップ1

設計者が圧延先端部の低速域から最高速度V^TOPまでに加速したときに，伸び率変動抑制に必要となる圧延荷重変更量ΔP_vを指定する。

ステップ2

圧延速度区間(p個の区間)を設定する。ここで，各区分での速度範囲は次のように等しく設定する。

  

$$\begin{array}{l}\Delta V=V^{\text{TOP}}/p\\ \Delta V\times \left(i-1\right)\le V_{\text{i}}<\Delta V\times i,i=1,2,\cdots p\end{array}$$

ステップ3

下降伏点とひずみ速度の関係から，速度区分iにおける圧延荷重配分ゲインg_diを設定する。ひずみ速度と圧延速度は，ほぼ比例するため，想定する圧延速度区間に対応するひずみ速度区間を等分割した点における下降伏点は，想定する圧延速度区間を等分割した点における下降伏点と等しいとみなせる。したがって，速度区分iでの下降伏点変化量ΔYS_iは，Fig.4の隣接する下降伏点の差となり，これを計算すると，Fig.5に示す下降伏点変化とひずみ速度の関係になる。そして，速度区分iにおける圧延荷重配分ゲインg_diを以下の式に基づき決定する。

  

$$g_{di}=\Delta Y{S}_i/{\displaystyle \sum }_{i=1}^p\Delta Y{S}_i$$

Fig. 5.

Relationship between strain rate and variation of lower YS at each strain rate range.

ステップ4

式(13)を用いたときに速度区間iの圧延荷重変更量指令値の総和(ΣΔP_FF=g_cg_diΣα_Acc=g_cg_di ΔV/T_s)と，速度区間iで設定したい圧延荷重変更量(ΔP_vg_di)が等しくなるように制御ゲインg_cを算出する。これには，式(14)が成り立つ必要がある。これを解けば，g_c=ΔP_vT_s/ΔVと求まる。

  

$$g_c{g}_{di}\Delta V/T_s=\Delta P_v{g}_{di}$$(14)

なお，最適平坦度フィードバック制御とフィードフォワード制御を併用する場合には，圧延荷重変更量指令値は，それぞれの制御で算出した結果(Δu₃とΔP_FF)の和となる。

4. シミュレーション結果と実機実験結果

本章では，シミュレーションと実機実験により，提案法の有効性を検証した。

4・1 シミュレーション条件と結果

フィードバック最適制御の平坦度制御性向上効果の検証のため，次の条件でシミュレーションを行う。

シミュレーション条件

圧延速度を一定，つまり，フィードフォワード制御が無効となる操業条件で，セットアップ制御誤差に相当する平坦度と伸び率への出力外乱(一定値)のみを印加し続けたときの応答を提案法と比較法で比較する。ここで，比較法は，評価関数(式(3))の平坦度に対する重みをα=1とし，伸び率に対する重みβ=20000と設定して，伸び率実績値が目標値となるように制御するのに対して，提案法では，評価関数(式(3))の伸び率目標値に対する重みβを0に設定するが，制約条件により管理範囲内に収まるように制御する。まず，一例で提案法の有効性を示した後に，多数の実機データ(サンプル数:150)から得られた先端部圧延後の平坦度と伸び率を初期値とした計算で，統計的な効果を検証した。

本節では，シミュレーションモデル(式(1))の平坦度に対する操作量の影響係数g_j,iは，板幅をN(=28)に等分割した位置に対応するFig.6にマークした点の数値を用いる。そして，この幅位置に対応する平坦度を制御する。また，伸び率に対する影響係数は，h₁=−1.2×10⁻⁵，h₂=1.32×10⁻⁵，h₃=7.04×10⁻⁴とする。そして，式(1)の時定数は，T₁=0.005，T₂=0.003，T₃=0.5とし，制御周期T_sは0.1[s]とする。そして，平坦度目標値は，全幅位置で0[I-unit]とする。

Fig. 6.

Flatness influence coefficients by each manipulated variable. (Online version in color.)

シミュレーション結果

比較法と提案法の平坦度制御結果をFig.7に示す。この図の横軸は正規化した板幅位置を表し，縦軸は，平坦度を表す。図中の凡例の“Initial flatness”は鋼板先端部の平坦度，“Comparison”は比較手法，“Proposed”は提案手法を適用したときの鋼板尾端部の平坦度，“Reference”は平坦度目標値をそれぞれ表す。比較法と提案法の平坦度制御結果を比較すると，提案法の方が，目標値付近に制御できている。続いて，比較法と提案法の伸び率制御結果を，Fig.8に示す。ここで，図の横軸の単位は秒であり，縦軸は，伸び率の初期値からの変動を表す。図中の凡例の“Comparison”は比較手法，“Proposed”は提案手法，“Reference”は目標値，“Upper/Lower Limit”は管理範囲の上下限値を表す。比較法では伸び率を目標値に制御しているのに対し，提案法では，管理範囲内ではあるが，目標値とは異なる値に制御している。これは，提案法では，平坦度制御誤差を低減するように伸び率を管理範囲内に制御するためである。Fig.9に示す操作量(レベリング変更量，ベンダ圧力変更量，圧延荷重変更量)のチャートを見ると，比較法は，伸び率を目標値とするために圧延荷重を増加させており，このときの平坦度を矯正するためにベンダ圧力も増加させている。それに対して，提案法は，平坦度の誤差を低減する方向に操作量を変更していると考えられる。

Fig. 7.

Simulation results of flatness (Comparison of comparison method and proposed method). (Online version in color.)

Fig. 8.

Simulation results of elongation deviations (Comparison of comparison method and proposed method). (Online version in color.)

Fig. 9.

Simulation results of manipulated variables change (Comparison of comparison method and proposed method). (Online version in color.)

ここで，比較法(β=20000に設定)と提案法(β=0に設定)で平坦度に差が生じる理由を考察する。まず，操作量の大きさ，操作量の時間変更量，伸び率，板厚の制約条件を課さない条件で最適計算する。つまり，制約を考慮せずに制御偏差の2乗和からなる評価関数を最小化する計算を行うと，平坦度は比較法で7.8[I-unit]，提案法で0.0[I-unit]となった。最適計算の性質から制約条件を考慮した場合に達成できる平坦度は，この値と等しいか大きくなる。次に，制約条件により平坦度に差が生じている可能性について検討する。本制御では，各操作量に対して制約条件を設定しているが，Fig.9で示した比較法のベンダ圧力のみが制約条件である+392 kNに到達している。このとき，比較法の平坦度(Fig.7)は8.1[I-unit]となっており，これは最小値である7.8[I-unit]よりも若干大きくなっているが，平坦度としてほぼ同等である。したがって，制約条件による平坦度への影響は軽微である。そして，次に示す原因で，比較法と提案法の平坦度に違いが生じると考えられる。比較法では，積極的に伸び率を目標値に制御しようとするために圧延荷重変更量を大きくせざるを得ず，それによって平坦度が変化する。これをレベリングとベンダ圧力の変更により完全に相殺できれば，平坦度は悪化しないが，Fig.6に示すように，圧延荷重変更によって生じる平坦度変化と，ベンダ圧力変更とレベリング変更によって生じる平坦度変化は，幅方向位置の効き方に関する特性が異なるため，完全には相殺することができない。したがって，圧延荷重変更量が大きいと相殺できない平坦度が大きくなり，平坦度が悪化する。一方，提案法では，伸び率が管理範囲に入る条件下で平坦度評価値が最小となるように操作量が設定される。つまり，圧延荷重変更量が平坦度に与える影響を考慮しており，さらに，レベリングとベンダ圧力の変更により相殺できない圧延荷重変更による平坦度変化を小さくしているため平坦度が改善する。

次に実機データ(サンプル数:150)を用いた統計的な効果について示す。制御終了後における平坦度の幅位置の最大値を平坦度の評価値とし，改善度[%]を(比較法の平坦度−提案法の平坦度)/比較法の平坦度×100で定義したときの，改善度のヒストグラムをFig.10に示す。このデータでは，平均で17%の改善度が得られた。

Fig. 10.

Histogram of flatness improved rate.

以上のシミュレーションで，平坦度の制御性向上効果が確認できた。

4・2 実機実験結果

提案手法の有効性を実機実験により検証した。

実験結果の一例(被圧延材:入側厚2.6 mm，板幅1225 mm，軟鋼)としてFig.11(a)−(d)に，それぞれ平坦度制御誤差，伸び率変動，圧延速度，操作量変更量のチャートを示す。このうち，平坦度制御誤差は，制御周期毎に得られる幅方向のNチャンネルの実績値のうちの最大誤差とする。Fig.11(a)に示すように，平坦度実績値は，初期値の15[I-unit]付近から3[I-unit]付近まで低減していることから，提案手法は平坦度の改善に有効である。また，Fig.11(b)の伸び率実績値は，管理範囲内に収まっている。次に，比較法と提案法を比較することで平坦度改善効果を統計的に示す。ここで，比較法は，伸び率を一定の目標値に制御する方法とした。そして，実験数(被圧延材の数)は，提案法適用が443，比較法適用が50とし，被圧延材は，入側厚が1.5 mmから2.8 mmの範囲，板幅が，750 mmから1300 mmの範囲，軟鋼とした。Fig.12に示すヒストグラムの横軸は，比較法を適用した被圧延材の尾端部平坦度の平均値を基準として規格化した平坦度の大きさを表している。つまり，比較法の尾端部平坦度の平均値をf_aveとして，評価対象材の尾端部平坦度をf_iとしたとき，評価対象材は，f_i/f_ave×100として評価する。また，ヒストグラムの縦軸は，出現率(その区間内の被圧延材の数と全被圧延材の数の比率)を表している。比較法の平坦度の平均値100に対して，提案法では，平坦度の平均値は78となり，その効果が確認できた。また，提案法の分布は，従来法よりも裾野が狭く，ばらつきが小さい。

Fig. 11.

Experimental results. (a) Flatness control error (b) Elongation deviations (c) Rolling speed (d) Manipulated variables change. (Online version in color.)

Fig. 12.

Flatness evaluation of comparison method and proposed method. (Online version in color.)

続いて，フィードフォワード制御の有効性を検証した。実験結果(被圧延材:入側厚2.0 mm，板幅1012 mm，軟鋼)であるFig.13(a)−(c)は，それぞれ伸び率，荷重操作量および圧延速度を示している。ここで凡例の“Without FF Control”と“With FF Control”は，それぞれフィードフォワード制御機能を非適用と適用の場合に対応する。フィードフォワード制御非適用の場合では，加速時に伸び率が大きく低下している。これは，最適制御では，モデル誤差がある場合においても制御システムの安定性を重視し，操作量の動作速度制約を狭く設定するため，圧延荷重の修正動作が遅いためである。これに対して，フィードフォワード制御を適用した場合では，圧延荷重の修正が早期に行われており，伸び率変動が小さい。本制御の適用により，圧延速度変更時の伸び率変動を小さくできることが確認でき，伸び率管理範囲からの逸脱を回避できる。したがって，被圧延材の材料特性を確保できる。

Fig. 13.

Experimental validation of the feedforward control. (a) Elongation deviations (b) Rolling force deviations (c) Rolling speed. (Online version in color.)

5. 結言

本稿では，調質圧延において平坦度を向上させ，加減速による伸び率変動を抑制する次の特徴を有するダイナミック制御を提案した。そして，本手法の有効性をシミュレーションと実験により検証した。

(1)最適平坦度フィードバック制御

伸び率が管理範囲内に制御できれば，被圧延材の材料硬度や降伏点伸び解消といった材料特性を確保できる点に着目し，伸び率を一定の目標値ではなく管理範囲内に緩和して制御することで，平坦度への影響を考慮した圧延荷重設定を可能とし，平坦度の制御性を向上させた。

(2)加減速における伸び率変動を抑制するフィードフォワード制御

過去の操業結果により定量化できる加減速における圧延荷重変更量実績値と，事前に実験により同定した変形抵抗変化(降伏点変化)と圧延速度変化の関係の関係式を活用した，物理モデルなしに適用できる手法を提案した。これにより，調整負荷が低く，伸び率変動を抑制するフィードフォワード制御系が構築できる。

なお，本最適制御は平坦度と伸び率のモデル式に基づく制御であるので，そのモデル精度が制御性を左右する。その実例として，被圧延材の強度やサイズが，モデル中のパラメータを求めるのに使用したものと大きく異なる場合には，実現象におけるパラメータの値と設定値の乖離により，制御量の挙動が変動することもあった。したがって，モデル中の影響係数を圧延の実績値を用いて逐次更新することや，新しく圧延する材料に対応するためにFEM解析を活用して影響係数を算出するなどのモデル精度を維持する仕組みが，制御性向上に必要となると考えられる。

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