リサージェンス理論：摂動論から非摂動効果を理解する

抄録

量子力学，場の量子論や古典力学で厳密に解ける問題は少ないため，小さな結合定数についてべき級数展開を行う摂動論は極めて有用である．たとえば量子電磁力学の摂動論の結果は驚くべき精度で実験と一致する．しかし，摂動級数は収束しないという問題が古くから指摘されてきた．一方，様々な量子系において，トンネル効果など摂動論でとらえられない「非摂動効果」も存在し，重要な役割を果たす．実際，場の量子論ではインスタントンなどを考慮することによって，非摂動効果が得られる．

実は摂動級数の発散と非摂動効果が関係している可能性は古くから指摘されてきた．近年，リサージェンス（resurgence）理論によって，量子論における摂動論と非摂動効果との直接的な関係の理解が進展した．微分方程式や積分の漸近級数解析などの数学的研究で得られた厳密な知見を応用して，量子論におけるリサージェンス理論の理解が進み，新たな結果が次々と得られている．

摂動論では，展開係数が次数nの階乗n!程度で発散する．そのような場合，ボレル総和法が有用である．発散する摂動級数からボレル変換という量が厳密に定義でき，これが摂動級数の情報を忠実にとらえる．たとえば，ボレル変換の特異点が摂動級数の発散の仕方を表す．一方，各々の特異点は非摂動効果と対応する．したがって，潜在的にどのような非摂動効果が生じ得るかは，摂動級数のボレル変換の中にすべて記録されている．一般に，摂動級数の発散の仕方に非摂動効果の情報が書き込まれていることをリサージェンス構造と呼ぶ．

ボレル変換のラプラス変換をボレル和と呼び，これが摂動級数の総和を表す．ラプラス変換の積分経路は正実軸上だが，その上にボレル変換の特異点が生じると，積分路を変形する（結合定数に虚部を与える）必要があり，その結果ボレル和に不定性が生じる．

一方，勾配流（gradient flow）の解析からバイオンと呼ばれるある種のソリトンが非摂動効果を与えることがわかる．バイオンの寄与にも結合定数の虚部の符号に応じて不定性が生じるが，摂動級数のボレル和と同じ符号をとると両者の和に不定性がなくなる．すなわち，両者の非自明な関係によって不定性の相殺が起こるため，物理量全体としての一意性が保たれる．つまり，摂動・非摂動部分はそれぞれ単独では不定で，両者を足し上げて初めて厳密な意味がある．この不定性の相殺から定まる「摂動論と非摂動効果の間の対応」により一方の寄与からもう一方を導き出すことも可能となる．

常微分方程式ではリサージェンス構造は完全に理解されており，一般解はトランス級数と呼ばれる複数の形式的漸近級数解のボレル和の足し合わせで表される．パラメーターを変えていくと，個々のトランス級数の係数が不連続に変化するストークス現象が起こる．しかし，真の解は連続なので，ストークス現象によって漸近級数解の間に関係が付くことがわかる．このようにあるセクターの情報が別のセクターに再登場する機構がリサージェンス構造である．量子力学でもこの構造の理解が進展し，さらにQCDやヤン–ミルズ理論，赤外リノマロンなども議論されつつある．