メビウス反転（Möbius Inversion）

抄録

メビウス反転は，ファジィ測度（集合に値を割り当てる集合関数の一種）の別表現である．ファジィ測度μは，複数の要素が集まった効果などを表す．例えば，１時間あたりの作業員aの作成量10kg，μ（{a}）＝10，bはμ（{b}）＝15，２人が協力し単独の和より５kg多いμ（{a，b}）＝30のような非加法的な関係μ（{a，b}）⋛μ（{a}）＋μ（{b}）を表現できる．

メビウス反転δは，ファジィ測度μの増分をとりだす集合関数である．単独の増分δ（{a}）＝10，δ（{b}）＝15とa，b協力の増分δ（{a，b}）＝5となる．ファジィ測度μ（A）の値は，μ（{a，b}）＝δ（{a}）＋δ（{b}）＋δ（{a，b}）のように単独の増分と協力の増分の合計で，μ（A）＝ΣB⊆Aδ（B）となり，集合Aのファジィ測度の値は，その部分集合のメビウス反転の値の合計となる．逆に，ファジィ測度からメビウス反転は，δ（A）＝ΣB⊆A（－1）（n－m）μ（B）と定義されている（n，mは，それぞれ集合A，Bの要素数）．３人の作業員（a，b，c）の協力による増分は，δ（{a，b，c}）＝μ（{a，b，c}）－μ（{a，b}）－μ（{a，c}）－μ（{b，c}）＋μ（{a}）＋μ（{b}）＋μ（{c}）となる．

ファジィ測度とメビウス反転の集合関数は１対１対応するので，ファジィ測度をメビウス反転で解釈したり，メビウス反転からファジィ測度を求めたりすることができる．また，ゲームの理論など使われるシャプレィ値は，要素数（人数）に応じたメビウス反転の値の合計で表現できる．３人の場合の作業員aのシャプレィ値は，δ（{a}）＋（1/2）［δ（{a，b}）＋δ（{a，c}）］＋（1/3）δ（{a，b，c}）となり，各増分をその集合の要素の作業員で分けるという解釈になる．逆にファジィ測度の単調性制約（A⊆Bならばμ（A）≤μ（B））はメビウス反転では表現しづらい．

メビウス反転を使ったショケ積分は，入力値をh（a），h（b），…とすると，ΣA∧x∈Aδ（A）となる．２要素の場合のh（a）δ（{a}）＋h（b）δ（{b}）＋min（h（a），h（b））δ（{a，b}）のように入力値を降順に並べ替えずに計算できる．

メビウス反転の数学的な解説は，本誌10巻２号，16巻４号にある．