ミンドリン板の GLS FEM によるせん断ロッキング回避

抄録

板の曲げ問題は工学的に重要な問題であり, 有限要素法によって板の曲げ変形を解析する手法はさまざまなものが開発されてきた. 中でも, ミンドリン板要素は, 面外せん断変形を考慮するため, 板厚が比較的厚い問題も取り扱うことができるなどの利点がある.
ミンドリン板の有限要素解析においては, たわみと回転角を未知数とした解析を行う. しかしながら, 板厚が小さいときに, 面外せん断剛性が曲げ剛性に比べて過大になるという, せん断ロッキングが問題となる. すなわち, ミンドリン板解析において薄板の曲げ解析を行う場合には, 特別な工夫が必要である. その解決法として例えば, 面外せん断の部分を選択して積分点を少なくする選択低減積分の手法や, 面外せん断に対して異なった補間を行う手法が開発されてきた. このようにせん断ロッキングは, 曲げとせん断の部分に対して, 別の処理を行うことが必要である.
ところで, 流体問題における有限要素法による解析では, GLS (Galerkin Least Square：ガラーキン最小自乗法) という手法が成功を収めている. それは, 流体解析において生じる上流化の問題や, 非圧縮性の問題を解決するために, 支配方程式の自乗形式を安定化項として汎関数に追加することによって精度のよい解析を実現するものである. この手法では, 節点の変数としてラグランジュ乗数が追加される混合型の有限要素法となる. そしてラグランジュ乗数を含む, すべての未知数に対して同じ形状関数（補間関数）を使用することができる. 従って, 三角形１次要素 (P1要素) や, 四辺形双一次要素 (Q1要素) を使用することができる.
三角形要素においては自動要素分割法が確立している. たとえばデローニ自動分割法はその代表である. これを用いれば, 複雑な形状のモデルでもメッシュ作成が簡単にできる. ミンドリン板の解析においても１次の三角形要素を使用することができれば, 要素分割の際に有利である. そこで本報告では, 計算流体工学の分野で成功を収めているGLSの手法を, ミンドリン板の解析に応用する. そして, ミンドリン板の変形に関して, 曲げと面外せん断の部分に対して, 別の処理を行うことなく, せん断ロッキングを回避することを目的とする.
本報告においては, ミンドリン板の変形問題に対して, 混合型の汎関数を導いた. 通常のミンドリン板の解析の汎関数は, 曲げと面外せん断に関してエネルギー関数を定義し, z-変位と, 回転角を未知数とする. すなわち変位法である. ここでは, 胡－鷲津 (Hu-Washizu) の原理により, 面外せん断ひずみの関係式をラグランジュ乗数によって外す. さらに, ヘリンガー－ライスナー (Hellinger-Reissner) の原理を用いて, 補足せん断ひずみエネルギーを導入し, せん断ひずみを消去して新しい汎関数を考える. この汎関数は未知数が変位と, さらに面外せん断応力を追加した混合型となる.
そのようにして導かれた汎関数が停留するための条件から, オイラー方程式を導いた. その最小自乗の項を考え, GLS安定化項として汎関数に加えて定式化した.
計算例として周囲固定の円板に, 等分布荷重を作用させる場合の問題を取り上げた. 有限要素モデルは, デローニ自動要素分割法によって作成した. すなわち, 直径 200 mm の円板に対して, 粗, 中, 細の３種類の要素分割モデルを三角形および四辺形によって作成した. そのモデルの板厚tが 10, 5, 1 mm の場合について, 等分布荷重による変形解析を行った.
まず通常の変位型定式化のミンドリン板の解析を行ったが、せん断ロッキングのため非常に精度が悪い結果が得られ、GLS項の必要性が確認された。そこで混合型定式化を用い, GLSの安定化パラメータをさまざまに変化させ, 円板の中心部の最大たわみについて, 計算結果を理論解と比較した. その結果, 板厚が薄い場合はせん断ロッキングが生じるが, 安定化パラメータをある程度大きくすれば, せん断ロッキングが解消されることが明らかになった.
そして, 板厚が薄い場合 (t=1mm) について, 円板の内部の節点のたわみや, 要素の曲げモーメント分布を, 薄板の解析解と比較することによって, GLSの精度について検証した. その結果, 中ぐらいの粗さの要素分割においても, 三角形, 四辺形要素の両方において解析解とほぼ同じ値を得ることができた.
以上のことから三角形, 四辺形要素の両方において, GLS有限要素法はせん断ロッキングを回避するために有効であることが明らかになった.