Mathematical Components入門

抄録

コンピュータのプログラムと数学の証明の間に密な関係があることはよく知られている．1969年に発見されたCurry-Howard同型対応により，プログラムの型を言明(statement)として見れば，プログラム自体はその言明の証明として見られる．これにより，数学の証明の検査はプログラムの型付けに帰着する．この発想に基づいて，定理証明支援系という検証ツールの開発が行われてきた．近年，定理証明支援系を用いて，ようやく現実的なプログラムと証明の検証が可能となっている．
現実的な証明の一例として，2005年から2012年までマイクロソフト・INRIAの共同研究組織で形式化された奇数位数定理が挙げられる．奇数位数定理は膨大な証明により示された重要な群論の定理であるため，その形式化は大きなマイルストーンとなっている．加えて，その形式化の基盤であるMathematical Componentsもまた，形式数学におけるライブラリとして重要な成果である．
我々のデジタル社会を支える基本的なコンピュータプログラムであるRSA暗号や楕円曲線暗号や符号などは，整数論や群論や線形代数などの数学に基づいているが，Mathematical Componentsを用いることで，これらのプログラムの厳密な仕様の記述ができるようになった．しかし，Mathematical Componentsのような大規模なライブラリの利用には専門知識が不可欠である．
本解説では，Mathematical Componentsによる形式化を紹介する．群論のラグランジュ定理を用いて，そのライブラリの基本的な使い方を説明する．