のパラメータは双曲線の長さではなく面積に関係している．円から定義される三角関数は，円 弧の長さからも扇形の面積（の２倍）からも定義出来る．しかしながら，双曲線の場合は，扇形の面積（の ２倍）から定義するとが定義できるが，双曲線の長さから定義すると楕円関数になる． このノートでは，この議論を一般化して，周の長さではなく面積（の２倍）を使って，曲線をパラメー タ表示する新しい関数を定義する．最初に，三角関数やを面積の逆関数という観点から復習し， 積分の関係式から加法定理を導く．そして，２次曲線の面積を求める問題から新しい関数を定義する．さら に，この新しい関数は三角関数とを拡張した関数であり，加法定理を持っていることを示す．

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オイラーの公式は最も美しい公式の１つである．三角関数と指数関数を結びつける関係式である．この オイラーの公式を使うことで，三角関数を定義することも出来る．また，これを利用することで三角関数の 加法定理は指数法則から導くことが出来る．さらに，オイラーの公式の虚数単位i = √−1 を普通の1 に置 き換えることでが定義出来る．オイラーの公式は，三角関数やが指数関数の仲間であ ることを示している． このノートでは，オイラーの公式を拡張することで，２次曲線上の点をパラメトライズする新しい関数 を定義する．この関数は三角関数やを一般化した関数で，三角関数やと同様な加法定 理を持つ．また，２次曲線上の関数なので，このノートでは２次曲線関数と呼ぶことにする．さらに，この ２次曲線関数のパラメータは，２次曲線の「周の長さ」ではなく，「扇形の面積」を表すことを示す．

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三角関数やは，円や双曲線をパラメトライズする関数である．研究紀要[1] では三角関数や双 曲線関数を一般化し，２次曲線上の点をパラメトライズする２次曲線関数を求め，加法定理が成り立つこと を示した．そして，研究紀要[2] では楕円型２次曲線関数の整数論への応用を示した．このノートでは，双 曲線上の有理点を求める問題と，や双曲型２次曲線関数との関係を調べる．そして，加法定理か ら導かれる２倍角の公式から双曲線上の有理点を求めるパラメータ公式を導くことが出来ることを示す．

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三角関数とは共に加法定理を有している．研究紀要[1] では，三角関数とを繋ぐ２ 次曲線関数を導入し，加法定理が成立することを示した．そして，研究紀要[2] では，楕円型２次曲線関数 を整数問題へ応用した．このノートでは，双曲型２次曲線関数と不定計量を持つリーマン幾何との関連性を 示す．また，オイラーの公式の双曲的な一般化を足掛かりとして，複素数の代わりに可換環を変数に持つ関 数を考察する．そして，可換環が作る平面を定義し，この平面上の２点間の距離を行列ノルムであるスペク トル半径から定義する．また，可換環を変数とする関数の微分可能条件を求める．そして，この条件はヤコ ビ行列の対角化と関係していることを示す．最後に，可換環を変数とする関数の微分可能条件は，微分の方 向に依存しないという条件よりも強いことを示す．

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In Experiment 1, undergraduates first made choices hypothetically between an uncertain large reward and a certain small reward, second they made choices with real money, and finally they again made hypothetical choices. The discounting rates in the first hypothetical reward condition were higher than those in the following conditions of real or hypothetical rewards. A significant difference in the discounting rate across conditions was not found when the real reward condition was replaced by the hypothetical reward condition (Experiment 2) or by the condition with probability contingency and hypothetical reward (Experiment 3). The difference in the discounting rate was replicated between the hypothetical and real reward conditions when the participants invested money when they selected an uncertain-large reward (Experiment 4). Johnson & Bickel (2002) found no difference in the discounting rate between hypothetical and real rewards when the real rewards were delivered to participants not during but after the experiment. The present experiments, by contrast, delivered real money immediately after every choice, and demonstrate that real and hypothetical rewards differ in the values of discounting rates.

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