Multivalued logic is important as a fundamental technique in designing machine intelligence. Particularly Boolean multivalued logic such that the whole set of logic formulas forms a Boolean algebra inherits those theorems, laws, etc. which are obtained in traditional Boolean binary logic. In this article, only logic such that logic formulas take more-than-two truth values is called multivalued logic, and any logic such that weights or costs are added to logic formulas of Boolean binary logic is not classified into multivalued logic. This article defines Boolean multivalued logic by coding binary fractions being greater than or equal to 0 and less than 1 directly as truth values. To handle readily Bayesian theory rationalizing collection of knowledges via observation, this article also introduces an arithmetic operation called “conditioning” in addition to usual logic operations. A key to advancing machine intelligence built in a certain kind of robots required an ability of thinking is extracting causality between objects by introducing such a robust logic that can process inferences consistently. This article shows with some instances the way of optimizing truth values of atoms when what truth values some logic formulas should take are given as knowledges, and the way of calculating the truth values of unknown logic formulas as inferences. It also mentions possibility of introducing natural language for realization of phonic conversation between users and machine intelligence.

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量子力学的系に関する観測命題全体の集合LがBoole束を構成せず(orthomodular束),したがって,Lの命題すべてに同時に真偽を,束(以下「束」はを意味する)の関係を保持するように,決定することができないことは,よく知られている。しかしまた,任意の1つのオブザーバブルRに注目するならば,このオブザーバブルに関する観測命題全体の集合はBoole束を構成し,これらの命題全体には,同時に真偽を割り振る(2値準同形写像)ことができることも,よく知られている。したがって,系の任意の(純粋)状態eに対して,あるオブザーバブルR(preferred observable)を指定するならば,Rに関する観測命題は真偽が確定していると見なすことができ,これらの観測命題に対するeによる確率は,古典的確率として扱うことができ,したがって無知解釈を与えることができるようになると考えられている。
しかし,真偽確定とみなしうる命題の集合は,eとRとの関係によっては,もっと大きくとることができる。こうした状況の下で,BubとCliftonは次の条件を満たすように真理値を与えることのできるLの極大部分束D(e,R)は何か? という問題を設定した。
各真理値の付値はD(e,R)上の2値準同形写像で定義され,かつ,D(e,R)の互いに両立可能な命題の集合に対してeによって定義される確率はD(e,R)に対する互いに異なる可能な真理値付値の上の測度として表現できる。
このような問題設定のもとで,彼らはUniqueness Theoremを証明した(Bub and Clifton (1996))。この証明はBub(1997),4.3にもほとんどそのままの形で採録されている。
しかし,この証明において具体的なD(e,R)の形を導くために設定された条件は,必要十分な条件にはなっておらず,また証明およびその結果を利用した解説は有限次元ヒルベルト空間を用いており,無限次元ヒルベルト空間におけるオブザーバブルについては,スペクトルを有限個の区間に分割して有限次元と同じように扱い,その後に区間の個数を無限大にする極限として処理されている。そのため,無限次元に特有に現れる状況は考慮されていない。したがって,(1)D(e,R)を導くための必要十分条件を設定し,(2)この条件を無限次元ヒルベルト空間に適用したときにどのような状況が生じるかを数学的に厳密に調べることが望まれる。本稿では,このうち(2)に関連して,無限次元ヒルベルト空間において,オブザーバブルQが可算無限個の点スペクトルをもつ場合と,実数全体Rを連続スペクトルとしてもつ場合について,量子力学的状態が与える確率をQの観測命題に対する真理値付値の上の測度として解釈しようとするときの問題点を検討する。以下において利用する数学の結果の多くは,数学者にとってよく知られている事柄なので,それらの証明は参考文献の該当個所を参照されたい。

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離散数学とは有限の対象ないしは離散的対象を扱う数学の一分野であり, 情報科学の基礎理論として最も重要な位置を占めている.地質学では連続な空間や時間を地質体や地質年代のように離散化して取り扱うところに特徴があり, その情報処理においては連続体を離散化する方法や離散的な対象の扱い方が重要な課題である.本講座は情報地質学分野の研究を指向する学生や大学院生を対象とした離散数学入門のテキストである.離散数学が扱う対象は広範囲にわたるので, 「数学の教科書から地質学に役立つ概念を読みとる」ことを目標において, 内容を集合, 関数, 関係, 同値関係, 半順序, プール代数に限定して, その考え方や地質学との関連性を解説する.いくつかの地質学への応用例を通じて, 離散数学は地質情報の数学表現やコンピュータ処理の基礎として有効であることを示す.

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