Courant-Friedrichs-Lewy条件()は双曲型偏微分方程式の差分近似の解析において,最も重要な条件の1つである.この条件は差分スキームの安定性と関連して論じられることが多いが,本来は差分解の収束に対する必要条件である.本論文においてはの本来の意味を再確認し,この条件下においても計算機から出力される数値解は必ずしも"安定"ではないことを具体例を通して示すと伴に,丸め誤差の多様な挙動についても言及する.

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　局所慣性方程式は，効率よく洪水氾濫解析を実行できる基礎方程式として2010年頃に提案されて以来，数多くの数値モデルに使われている．著者らは，局所慣性方程式がなぜ高い数値安定性を有するのか，また，その安定性条件はどのように決定されるのかについて，数学的解析とモデル実装の両面から研究に取り組んできた．本稿は，約10年間に渡り取り組んできた一連の研究をレビューし，拡散波方程式との比較，摩擦項の離散化手法による安定性への影響，安定性と精度を両立する離散化手法の提案，という3つの視点で成果を整理する．数理解析の概要を説明するとともに，局所慣性方程式をモデルに実装するユーザー視点での要点をまとめることを目的とする．さらに，水文・水資源学会の研究グループ発足といった原著論文では記すことが難しい共同研究進展の契機についても，時系列で振り返って研究ノートの形で記録する．

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本研究は，フレッシュコンクリートの流動挙動を解析的に求めることを目的とするものである．フレッシュコンクリートの流動挙動をラグランジェ型の有限要素法で求める場合，流動による変形が大きくなると，いびつな要素が発生し，節点位置および要素形状の最適化を行わなければ解析が破綻する場合がある．そこで本研究では，オイラー型の有限要素法をフレッシュコンクリートの流動解析に採用し，その適用性を検討した．フレッシュコンクリートの流動解析例としてL型フロー試験を対象に行い，良好な結果を得た．

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陽的計算手法には重力波のによる時間刻み幅の制限がある反面，Helmholtz方程式を解くための反復計算が必要ないため，問題の計算解像度によっては陰的計算手法に比べ計算負荷が低くなる．陽的な高次精度オイラー法および特性線を用いたセミ・ラグランジュ法を静力学気象モデルに適用し，計算精度，計算効率の観点から，有効性を比較，検討する．

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We present a new numerical method to simulate unsteady compressible flows under arbitrary Mach number condition. A hybrid explicit / fractional-step temporal discretization for Euler equation on strictly conservative formulation has been developed. The explicit method is adopted when the flow speed is high so that strong shocks as well as sound waves are accurately captured; while the fractional-step pressure-iteration method is adopted when the flow speed is low so that the CFL condition as a constraint on the time step can be avoided. We selected as the base scheme Jiang et al.'s nonstaggered version of the high-resolution central scheme by Nessyahu and Tadmor for hyperbolic conservation law since the scheme is well-suited to construct the fractional-step algorithm. An additional pressure correction procedure (GCUP) is implemented to deal with general equation of state. Riemann problems in one dimension are solved for a gas and a liquid to show high accuracy and robustness of the present scheme. A flow transition calculation from subsonic to supersonic due to a heat source is also successful.

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本研究では，圧縮性流体と固体の熱連成問題に対して，音速に基づくCFL (Courant-Friedrichs-Lewy)条件を大きく緩和することが可能な計算手法を提案する．なお，流体と固体の物性値の差は十分小さいと仮定した．この手法では，基礎方程式の圧力項を陰的に計算し，固体領域の流速に対して局所平均化操作を行う．この圧力解法に対して，特に新しい時刻の各変数が圧力計算の離散化式を満足するように，密度の更新と固体領域の局所平均化操作を行うという改良を加えたアルゴリズムを新たに提案した．提案された計算手法を用いて，熱伝導性を有する円形の固体領域を含む矩形キャビティ内の自然対流計算を行い，自然対流のように長時間の計算が必要な低マッハ数圧縮性流れにおいて，音速に基づくに拘束されず高速な計算が行えることを確認した．

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本研究では，キャビティ内自然対流について，圧力ベースの圧縮性流体解法（PBM），密度ベースの圧縮性流体解法（DBM），運動方程式にブシネスク近似を使わない非圧縮性解法の一つであるnon-Boussinesq法（NB）による計算を行った．高温度差（３００[K]）におけるPBMとDBMによる定常状態でのヌセルト数の差は３％となった．一方，PBMとNBによる定常状態でのヌセルト数の差は10.6％であった．このようなヌセルト数の差異は，非圧縮性解法において密度を温度のみの関数としたことによる質量保存則の誤差が原因で生じたと考えられる．定常状態において，PBMとDBMでは質量保存則が高精度に満足されることを確認した．一方，NBでは定常状態において質量が初期状態から約３１％減少することを確認した．

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　高速な洪水・氾濫計算を実現できる数値モデルの中核として，浅水方程式の慣性項を無視した局所慣性方程式が注目されている．局所慣性方程式を有限差分法によって離散化する場合，摩擦項の半陰的な取り扱いが数値解の安定性を担保し，陽的な取り扱いと比較して許容タイムステップを著しく大きく指定できることが経験的には指摘されてきた．しかし，摩擦項の取り扱いが数値解の安定性に及ぼす影響を理論的に定量化した研究例はない．本研究では，von Neumannの安定性解析を用いて，線形化した摩擦項の取り扱いが空間1次元の局所慣性方程式に対する数値解の安定性に及ぼす影響を定量的に検討した．安定性解析の結果から，摩擦項を陽的に離散化した場合の許容タイムステップが半陰的な場合と比較して著しく小さく，空間ステップが大きい場合に極限値を持つことを示した．また，半陰的な離散化はこの事態を回避できることも示した．さらに，理論的な安定性解析の結果が数値実験の結果と良好に一致することを示した．本研究から，局所慣性方程式に基づく実用的な洪水・氾濫解析において摩擦項の半陰的な取り扱いが果たす役割の重要性が定量的に解明された．

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本稿では,陽的/陰的混合FDTD法による二次元解析手法を提案する.本手法では,セルサイズが一様でない解析領域に対して,小さなセルからなる部分領域には時間刻み幅に対して無条件安定なADI-FDTD法,大きなセルからなる部分領域にはを有するFDTD法を適用する.その結果,小さな時間刻み幅の使用を避けることができ,効率的な解析を行うことができる.本研究では,セルサイズの相異なる部分領域の境界について新たに更新式を定式化する.最後に,セルサイズが一様でない二次元領域についてシミュレーションを行い,本手法の有効性を示す.

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An invariant finite difference scheme of the two-phase shallow water equations is extended to the two dimensional case. A two dimensional scheme is first proposed by using a locally one-dimensional scheme to guarantee the stability of the non-symmetric hyperbolic system. The proposed scheme loses the invariance of rotational transformations. To recover the invariance of rotational transformations, two schemes are averaged in which the order of one-dimensional calculations is different. The averaged scheme produces good numerical results.

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通常の有限差分法では格子点での関数値を用いて差分近似式が構成されるが,ここでは,非格子点の値を必要とする差分近似を考察する.このような近似は,例えば,流れ問題で物質微分項を特性曲線法に基づいて差分近似するときに現れる.補間作用素を用いて非格子点での値を求め,その打切り誤差を評価する.

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　HPCIによるリアルタイム津波浸水・被害予測の実現において，2次元非線形長波理論による津波コードを用いて全国沿岸を対象とした10m格子高精度津波浸水予測を10分以内に実行するためには，2 Pflop/s程度の計算機が必要であることを明らかにした．この計算量を大幅に削減するため，解析領域及びネスティングの形状を従来の矩形から多角形に拡張し，高精度解析の対象とする地域を津波の遡上しうる沿岸域に限定することで，広域津波解析に適した効率的な解析手法を構築した．また，既存モデルに対する精度検証を行った．津波予報区レベルの広域津波解析を実施した結果，従来の3倍以上の効率化が達成でき，全国一律の即時津波浸水予測の実現可能性を示した．

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新たな雨滴落下スキーム(box-Lagrangianスキーム)を開発した。従来のEuler型のスキームでは、雨滴の混合比qの時間変化を∂q/∂t=V∂q/∂zから計算しているので、タイムステップΔtを雨滴の落下に対する(VΔt/Δz<1、ここでVは雨滴の落下速度、Δzは鉛直の格子間隔)をも満足するように決定しなければならない。そこで、新しいスキームでは1鉛直格子箱にある雨滴の総量(可降水量)が完全に保存するように雨滴の落下を考え、そうすることにより雨滴の落下に対するΔtの束縛条件を取り除くことができた。すなわち、可降水量を一定のVで落下させ、Δt後の落下位置にある格子に配分する方法である。
雨滴の落下に対するから考えられる最大のタイムステップΔt_c(=Δz/V)よりも小さいΔtに対してはbox-LagrangianスキームはEuler型のスキームと一致する。さらに、ΔtをΔt_cの数倍にした場合でもbox-Lagrangianスキームは精度良く安定に雨滴の落下を計算した。数値モデルの下部の格子間隔を大気境界層を表現するために細かく取る場合、box-Lagrangianスキームは特に有効な手段となる。

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The world highest performance computer "FUGAKU" has been operated to enable an EXA scale simulation. For applying it to combustion problems, novel approaches of numerical models and methods are expected. Here the latest progress and prospect of their investigation for FUGAKU scale combustion simulation are reported in some topics, such as flow simulation methods by immersed boundary approximation, combustion models by detail reaction and flamelet approaches and a coupling model for spray and flow.

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This study presents rapid numerical simulation of large flood inundation using the local inertial equation (LIE) and/or GPU. We compared simulated results of the local inertial equation and the shallow water equation (SWE) through numerical simulation of the Kinu river flood inundation in 2015. Inundated flow depth simulated by the LIE and SWE agreed well except for the region close to the overflow. Simulated results of flow velocity by the LIE and SWE were quite different at the regions which have high Froude number. These results indicated that LIE and SWE should be appropriately selected according to the objective of the simulation. As to the speed, simulation using the LIE was 1.6 times faster than that using the SWE. GPU parallelization using OpenACC technique made simulations 9.3 times faster regardless of the LIE or SWE.

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