点と直線は、場合により、無限に小さく、無限に細い、要素と考えることがある。つまり、三直線が一点で交わるという性を考えるとき、点は概念的に無限に小さいと考える。また、三点が一直線上にあるという共線性も、無限に細い点と線を考える。しかし、図形を作図するとき、点を目で書く場合、コンパスの針の位置決めには、高々0.05mmぐらいの精度であり、それ以上の精度は望めない。また、定規を使う場合、点と点を結んで線を作るときもそれぐらいの精度である。また、CADによる作図は、交点サーチなどがあり、コンピュータの持つ実数精度の意味で厳密性が増す。そこで、性の確からしさも増すことになる。
しかし、それでも極限的実数濃度の点の位置は、確かめようがない。そこで、作図による、例えばパップスやデザルグの定理の共線性やその点と線の関係を入れ替えた双対定理の性の図は、証明なしには、厳密に成立したとは言えないであろう。そこに、論理的証明に意味がある。では、論理的証明がいいかというとそこにもまた限界が見られる。なぜなら、証明すべき作図的命題がユークリッド的命題と取るか非ユークリッド的命題と取るかの認識の違いにより、 (たとえば、平行線の公理をどのように用いるかなどにより、) 異なるからである。つまり各個人の知識体系の違いにより命題の持つ認識や意味は異なるのである。そこに、定理の作図にしろ、証明にしろ、その表現を味わう意味がでてくる。そんなことを思いつつ、今回は、定理の円表現を味わって頂きたく、それらの若干のCADによる作図表現を行う。

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古典幾何学の中には, 三角形や四角形を用いた共線定理や定理などが沢山ある.そのなかで, その定理の構造を保ちながら, それを構成する直線の数を増していったり, 三角形を, 四角形, 五角形と拡張していっても成立する定理が, 数少ないがある.これらは, その数的拡張が無限にできるので無限連鎖定理と呼ぶことにする.クリフォード, Griffiths, Coolidgeなどは, 外心, 重心, 九点円, 垂心の定理を無限連鎖化している.それに習って, 我々は, 新しくシムソンの定理と直極点の定理を無限連鎖化した.そして, そのラフな証明を見つけているので, それに触れる.さらに, 三角柱の定理と名付けた定理の予想として無限連鎖化を考えた.
さて, これらの図であるが, 連鎖を多くすると, 要素の数が2のn乗のオーダーで複雑になるが, 定理3から5の3つの定理については, 対称性を利用して, 連鎖5, 7の場合を描いた.その際, 数式処理ソフトのMAPLEVを用いた.また, 外心の連鎖とその他の3つの定理に関しては, CADでその図を描いた.これらの定理と図が, 図形科学の発展の一助となれば幸いである.

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The author have constructed a nomogram which makes the calculation of normal deviate t=(B-Ba)/Sa, while a is the age of the test subject, B is the systolic blood pressure (mg/Hg), Ba is the average blood pressure of subjects in the same age group, and Sa is the standard deviation. The values of Ba and Sa were taken from the results of National Nutritional Survey conducted by Welfare Ministry in May 1963 . The equation may be rewritten as B+(-Sa)t=Ba . From this equation, the value of t was marked on the vertical line, using x=20, and y= +40t (in mm), while B was marked on the vertical line using x= -20, y=B. Age a was further marked on the curves (flexed line) in males and females separately, using x cosA= -20(40+Sa)/40-Sa while =A is the angle between X-axis and horizontal line, and y= 40Ba/40-Sa. A nomogram consisting of three scales, the scale of age showing a curve (flexed line) and the scales of B and t being two parallel straight lines is thus obtained. A nomogram which makes a rapid calculation of t logB-logBa/S'a possible after transforming systolic pressure into logarithm was also conducted, S'a represents the average of log(Ba+Sa) - logBa and logBa-log(Ba-Sa).

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本研究では、「平面図形」における性・共線性という性質に着目し、作図ツールを利用した教材開発を行ってきた。本稿では、「What if not」の考えを基に、問題状況を変化させ、様々な三角形の心を関連付けることで、心の統合的な扱い方について述べる。

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卵形線の幾何学は、卵形線の定義が比較的簡単でないため、その図はもとより、性質は容易にはつかめない。しかし、その媒介変数表示式が分かれば、BASICのグラフィック命令を使って図がかける。この事を、まず、円環の [r, 2θ] → [r, θ] への写像、つぎに、カシニの卵形線、そして、ケプラーの卵形線、デカルトの卵形線、トーラスの断面、ある卵形線などの卵形線族で、確かめている。このとき、文字係数は、試行錯誤で、グラフを書きながら、見つけた。これは、BASICインタープリターの便利な点で、文字係数に適当な数値を代入して走らせばよい。また、CADで、卵形線を図形的定義から何点かを作図し、Bスプライン関数でつないだ図を示した。簡易CADでは、定規とコンパスの作図は容易であるが、軌跡問題の作図は簡単にできるようにはなりていない。また、CADにREDO, UNDOでなくトレース機能を付け加えれば、ユークリ磯何の図形証明問題において、作図順序が容易に分かり、証明も容易に分かることを示す。さらに、図の性や、共線性を拡大機能を用いて確かめながら、作図していくことにより、できあがった図が定理となりうることが言える。つまり、定理を予想ができることもある。卵形線は、様々な族を持つが、デカルトの卵形線は、その中でも性質の分かる数少ない卵形線族である。しかし、それでも、昨今のコンピューター技術であるBASIC言語やCADの助けなくして卵形線の幾何学的構造は、明らかにできないのである。

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実在する実物体を視覚的に消し去るDR(Diminished Reality)は様々な場面で活用が期待されている．しかし，テクスチャレスなシーンにおいては適切な物体除去が困難であるという課題がある．本稿ではテクスチャレスなシーンに対して物体除去を実現する手法を提案する．幾何情報に基づいたDRを行うため，各背景平面領域に分割して隠背景補完を行う．背景平面領域を求めるため，LSD(Line Segment Detector)とHough変換，条件を用いることで背景平面境界を求める．除去物体の追跡は，除去物体から抽出された特徴点をマッチングすることで行う．2次元隠背景補完では各フレームごとに背景平面領域を求め，インペインティングを行う．3次元隠背景補完では3次元再構成された背景境界線分を投影した線分から各背景平面領域を求め，インペインティングを行う．インペインティングは初期フレームのみに行い，その後のフレームでは補完背景画像を重畳させることで隠背景補完を行う．

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従来, 測量用望遠鏡の縦横叉線の調整法について論じたいく多の論文は, いずれも外焦式望遠鏡の縦横叉線の調整法についてのみ論じ, 内焦式望遠鏡について論じたものはほとんどなく, また外焦式, 内焦式のいずれの場合についても, 叉線の偏倚と視準誤差との関数関係を論じたものは皆無である。しかしながら叉線交点の偏倚と視準誤差との関係並びにその調整は測地学的精密測量の立場からきわめて重要であつて, この点を明確にすることなしには誤差の適正な調整は到底不可能である。本論文は以上のような意味から種々な望遠鏡の視点軌跡の形状を解析して叉線の偏倚と視準誤差量との関数関係を明確にするとともに, これらを室内並びに野外実験を通じて検証したものである。

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図形幾何学の中には、三角形や四角形を用いた共線定理や定理などが沢山ある。そのなかで、その定理の構造を保ちながら、それを構成する直線の数を増して行ったり、三角形を、四角形、五角形と拡張していっても成立する定理が、数少ないがある。これらは、その数的拡張が無限にできるので無限連鎖定理と呼ぶことにする。この例として、今回、よく知られているクリフォード定理、Griffithsの定理のほか、新しく9点円の定理と直極点の定理を無限連鎖化した。そして、その定理のラフな証明を見つけているので、それに触れる。このほか、いくつかの無限連鎖定理があることが岩田至康編の幾何学大辞典などに記述してある。さて、定理の図として、無限連鎖定理が対称図形にできる物はそれを描き、そのデザイン的表現を示す。その際、CADや、数式処理ソフトのMAPLE Vを用いた。これらの図が示すように、無限連鎖定理は、連鎖の数が多いと、その要素はNP的に増え、その表現すら困難である。そして、この困難をコンピュータ内部のWORLD座標に描いた図のZOOM UPの方法でしか確かめられないところに現在CGの限界を見る思いがする。ここにあげた定理の100や200の連鎖の表現が何らかの原理の発見により、ミクロとマクロを同時に見えるように解決することがCOMPUTERのNP問題の解決につながるようなに思える。そのようなことを思いつつ、4つの定理とその図をここに提示する。

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When a ship receives an electric wave issued from a radio station, we can determine the position line of the ship by its direction. For the purpose to determine this, an intersection chart has been published from the Hydrographic Department of Maritime Safety Agency. To avoid the disadvantage arising from the intersection chart, I tried to determine the position line by the nomogram. The determing equation is : sinLcotα=cosltanl_0-sinlcosL ; Where α is the azimuth of the radio station from the ship, l_0 is the latitude of the station, l is the latitude of the ship, and L is the difference of the longitude between the ship and the station. In this case α and l_0 are known, l and L are unknown. Fig.2 and Fig.3 make a pair of nomogram. Method of application In Fig.2, marke the point of the value of α lying on the line cot α. Draw the straight line m passing through the point α. The line m and the line x intersect on the point A. The line m and the line tan l_0 intersect on the point B. Mark the point C of the value of l_0 lying on the line tan l_0. The segment BC is the value of |y|. In Fig.3, mark the point D of the value A lying on the line x, and the point E of the value |y| lying on the line y in the direction upward from O. The point F that intersects with the line DE and the curve l is the value of the latitude, say l. Mark the point G of the value |y| lying on the line y in the direction downward from O. The point H that intersects with the line DG and the curve L is the value of the difference of the longitude. Add the value H to the station's longitude or subtract the value H from the station's longitude. That is the value of the longitude, say L. Plot the several points (l, L) on the chart, and the line that goes through these points is the line of position. For another radio station, we can get another line of position. The point on which two lines intersect is the position of the ship.

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