日本計算工学会論文集
Online ISSN : 1347-8826
ISSN-L : 1344-9443
対角項に零を持つ線形方程式に対するSOR法を用いる可変的前処理付き一般化最小残差法
長原 里華阿部 邦美石渡 恵美子藤野 清次
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2008 年 2008 巻 p. 20080010

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抄録

正則なn次行列Aを係数に持ち,n次元ベクトルx,右辺項に解ベクトルbを各々持つ線形方程式Ax=bを近似的に解くKrylov部分空間法は,前処理とともに利用されることが多い.この前処理とは,数学的同値性が保たれるような変換を行い,Krylov部分空間法の収束性が好ましいように係数行列の固有値分布を改善する方法である.一般の非対称行列に対する前処理付きKrylov部分空間法のアルゴリズムでは,まず係数行列Aに近似的に等しい前処理行列を構築する.この前処理行列については,これまでに多くの構築方法が提案されてきたが,代表的な方法として,不完全LU分解(Incomplete LU factorization, ILU分解)が知られている.また,近年では,従来の前処理とは異なる概念,すなわち反復毎に前処理を変化させる手法(以下,可変的前処理と呼ぶ)が提案されており,Generalized Minimal RESidual method(一般化最小残差法,GMRES法)の変形としてFGMRES法,GMRESR法が開発されている.これらの解法の前処理では,従来のように前処理行列を生成する代わりに,一般の前処理付きGMRES法のアルゴリズムで現れる基底ベクトルvについて,A z=vの近似解をKrylov部分空間法によって求める.具体的には,A z=vの近似を求める際に,主にGMRES法やILU前処理付きGMRES法などが適用され,一定回数の反復によって近似解が求められる.さらに,Successive Over-Relaxation method(逐次緩和法,SOR法)を用いる可変的前処理付きGeneralized Conjugate Residual method(一般化共役残差法,GCR法)も提案されている.この解法では,一般の前処理付きGCR法で現われる残差ベクトルrについて,方程式A z=rの近似解をSOR法で求めることにより可変的前処理が実行される.これらFGMRES法,GMRESR法,SOR法を用いる可変的前処理付きGCR法は,一般のILU前処理付きGMRES法,GCR法よりも有効な場合があることが報告されている.さらに,FGMRES法,GMRESR 法で実装されているようにAz=vを解く可変的前処理を実行する際にGMRES法などのKrylov部分空間法を用いるよりも,SOR法を用いる方が前処理の効果が大きいことも報告されている.したがって,収束性の観点から,SOR法を用いる可変的前処理の利用が望まれるが,係数行列の対角項に零を持つ場合,Az=rやAz=vを近似的に解くためにSOR法を適用することはできない.また,従来から使用されているILU分解によって前処理行列を生成することもできない.ところが既に,対角要素の絶対値の積が最大になるように変換する手法(以下,対角優位化並替え手法と呼ぶ)が提案されている.この手法は係数行列の対角項を非零に変換することができるため,従来のILU分解の利用を可能にする.このことから,近年,対角優位化並替え手法とILU分解などの前処理付きKrylov部分空間法を組み合わせた場合の有効性が報告されている.これに対し,対角優位化並替え手法を用いて,係数行列の対角項が非零になるように変換されれば,前処理でSOR法も適用が可能になる.さらに,対角優位化を図るという性質により,SOR法の収束性も向上すると考えられる.そこで,我々はAbe and Zhang (2005)で提案された可変的前処理の概念をGMRES(m)法に適用し,その前処理には,対角優位化並替え手法を用いて係数行列の対角項が非零になるようにAz=vを同値変換し,SOR法を適用することを試みる.数値実験では,対角項に零をもつ正則な係数行列を取り上げ,対角優位化並替え手法を適用した係数行列に対するILU(0)前処理付きGMRES(m)法,Az=vにGMRES法を用いる可変的前処理付きGMRES(m)法,および Az=vを対角優位化並替え手法で変換した方程式に対して,GMRES法やSOR法を用いる可変的前処理付きGMRES(m)法,さらに,前処理行列やAz=vだけでなく,Ax=bにも対角優位化並替え手法を適用する場合を取り上げ,対角優位化並替え手法を利用した際のSOR法を用いる可変的前処理付きGMRES(m)法の有効性について検証する.

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© 2008 The Japan Society For Computational Engineering and Science
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