この論文では、一つの付加線形条件を有する最小費用流問題を解くためのプライマル・デュアル法を示す。ネットワークの個々の枝に、2次元の距離が付与されている。第1成分は、費用に関連し、第2成分は、付加条件の係数に関連している。辞書式順序に関して最小の距離を持つ路を辞書式最短路といい、負の距離を持つ閉路を辞書式負の閉路ということにする。第1成分が負である閉路は現われないが、第1成分が0であって。、第2成分が負である閉路が存在するときは現在の主問題の解(流れ)は、その閉路の流れを変えることによって改良される。負の閉路が存在しないときは、最短路が存在し、双対問題の解が改良される。この解法は、現在の解の基底を保持する必要がないという意味で、純ネットワーク的解法であり、退化現象がしばしば起こる場合に適している。

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オペレーションズ・リサーチ、また他の工学の諸分野における離散システムを解析するのに(ポリ)マトロイド、劣モジュラ関数的な考え方が有用であり、ここ10年程の間に様々な問題に対して応用されてきた。本論文では、まず、現実問題においてよく現われるマトロイドの多くを含む足切り横断ポリマトロイドを導入し、そして、それに関する組合せ最適化問題に対して、ネットワーク・フローの手法を用いた効率的、統一的な算法を提案する。一般に、ポリマトロイド最適化の統一的問題として独立流れ問題が知られているが、具体的にあるポリマトロイドが与えられたとき、それに関する独立流れ問題を実際に解くには、そのポリマトロイドの飽和関数、従属関数等の基本関数が効率よく計算できることが必要である。本論文では、ここで導入した足切り横断ポリマトロイドの基本関数が、ネットワーク算法により容易に、かっ、効率よく求められることを示す。そして、足切り横断ポリマトロイドの組合せ最適化問題の内greedy型の問題、すなわち、基や最大重み独立ベクトルを求める問題、基本分割を求める問題、及び被覆・詰込問題が取り分け効率よく解けることに着目し、この型の問題について詳細に議論する。足切り横断ホリマトロイドの典型的な、また有用な例としては、横断マトロイドの他に、グラフの閉路マトロイド、及びその合併マトロイド(これらのマトロイドは、電気回路網の基本的諸問題に応用されてきた)、2次元リンク構造に現われるマトロイド等が挙げられる。ここでは、この2つの具体的なマトロイドに関する組合せ最適化問題が本論文で提案するネットワーク・フローの手法により効率よく解けることを示す。さらに、応用の立場から述べると、足切り横断ホリマトロイドは内部自由度を有する離散システム(例えば、上述の2例の他に多面体線画構造等)と密接な関係がある。ここでは、それぞれのシステムに関する諸問題について触れることはしないが、一般に、足切り横断ホリマトロイドに対するネットワーク・フロー的手法を殆とそのまま適用することにより、この種のシステムを効率よく解析することができる(ここでシステムを解析するとは、システムが冗長であるかどうかを判定すること、冗長でない極大な部分システムを求めること等を意味する)。

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本論文では、最大納期遅れを最小にする、2種のNP一完全なスケーシェリング問題に対する近似アルゴリズムを提案したうえで、そのワーストケースバウンド等について考察する。(i〕最初は、n個の独立で、納期と処理時間が既知の仕事を、m台の等価並列機械で処理する時に、最大納期遅れを最小にする問題(n/m/I/L_<max>)について考察する。この問題はNP一完全であるので、2つの近似アルゴリズムEDDとLPTを提案し、それぞれのワースケースバウンドを与える。(ii〕次に、(i〕と同様な仕事を、2機械のフローショップにおいて処理する時に、最大納期遅れを最小にする問題(n/2/F/L_<max>)について考察する。(i)と同様に、この問題もNP一完全である。そこで、まず、この問題に対して、最適解が容易に求められる場合を与え、次に、一般のn/2/F/L_<max>に対して近似アルゴリズムを提案し、そのワーストケースバウンドを与える。

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二機械フロー・ショップにおける次のような問題を解く。仕事はいくつかのグループに分類されており、各グループの仕事は連続して処理される必要がある。各グループの最初の仕事に着手する前に、第一、第二の機械にグループ特有の準備が必要である。各仕事には第一と第二の機械の間の加工遅れが指定されても良い。また、各グループの問には、直・並列ネットワークにより表現される先行関係が指定されている。この時、総所要時間を最小にする集合問、並びに、集合内のスケジュール(順列)を求めよ。最初に、従来とは多少異なる方法で合成仕事を定義すれば、上の問題で先行関係制約を無視した場合には、集合間、集合内の両スケジュールは一般化したJohnson規則により最適に定められることを示す。ここで "一般化" とは負の処理時間を形式的に許容することである。次に、負の処理時間を許容した、一般化した仕事に対する合成仕事を定義し、これが通常の非負の処理時間を有する仕事の合成仕事と全く同じ特性を持つことを示す。このことを利用して、Sidneyの古典的な二機械フロー・ショップ問題に関する理論をほぼそっくり、上述の問題にも適用できることを明らかにし、直・並列アルゴリズムによってO(n 1og n)、n:仕事の個数、で最適スケジュールを定めうることを指摘する。本稿で扱った問題は、二機械フロー・ショップで総所要時間を最小化する問題の、多くの研究者によって調べられた様々な変種をその特殊化として含むが、さらに、各仕事も処理時間とは独立の段取持問を有し、グループ内の仕事間にも直・並列先行関係が指定される場合をも、内包していることが指摘される。

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システム・ダイナミックス(SD)は、考察中のシステムに関する政策の発想および事前評価に対して極めて有効である。しかし、現在のSDの文献はこの分野の本質的な数学を適切には表わしていないし、システムのモデル化の際に判断に導く原理を明確にしていない等、理論的側面に問題点が多い。本論文ではSDの良さを保存しつつそのような問題点の解消を行う。すなわち、フォレスターらの得たSDの知見は正当かつ重要であるが、その表現形式およびそこに現われた概念はあまりにも素朴であるとしてSDの現状を把握する。そして公理的方法により、SDにおける基本的な概念を明断にしたり、基本的な命題を証明したりする。本論文の第2章ではSDで考察するシステムの基本特性や基本様相を明確にし、第3章においてSDの公理体系を集成する。SDにおいてはシステムの「動的挙動」や「鈍感さ」という概念が核心となるが、第4章ではこれらの概念をカタストロフィー理論でいう形態や構造安定性として厳密に定義し、第5章で形態の構造安定性、第6章で形態の分類、第7章で形態の不連続な変化などについて数学的に証明または論述する。さらに第8章では、SDの文献において素朴な形式で述べられていた重要な知見が、本論文の方法で厳密に定式化され、証明されることが示される。以上の結果、公理的方法によりSDの理論体系を確実に構築する端緒が開かれたと思われる。

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