新しい計算・通信のモデルである量子コンピュータや量子通信が注目を浴びている．1つの理由は，量子コンピュータが現在のセキュリティを支えている公開鍵暗号系の安全性を壊すからである．一方で，量子通信は量子暗号方式を通して物理的に安全性が保証された暗号通信を提供する．通信容量の増大も期待でき，量子テレポテーションといった新しい形態の通信も可能となる．この新しい計算・通信モデルの現れる量子計算・量子情報の分野において，様々な組合せ的構造が現れる．そのような離散構造について解説する．

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組合せデザインのRAIDへの応用

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"スペクトラム拡散通信方式の一つの方法で周波数ホッピング（Frequncy hopping）多元接続といわれる方式がある．これは携帯機器間の通信に使われる Bluetooth規格で用いられている方式である．この方法はまず，与えられた周波数帯域が数十，数百の狭帯域に分割してあるとする．これを周波数ライブラリー(frequency library)とよぶ．そして，ある微少時間区間毎にこの周波数ライブラリー内の狭帯域を変更しながら通信をする方法である（Bluetoothでは1600回／秒).周波数帯域の変更順序はある系列に従う．この系列を周波数ホッピング系列(frequency hopping sequence)という．またFH系列と略すこともある．異なる送信者が同じ周波数ライブラリー上でホッピングしながら通信をする．その時，いくつかのスロットで同じ周波数を使ってしまうこともありうる．この周波数の衝突をヒット(hit)と呼んでいる．すなわちヒットすると異なる発信者が同じ周波数帯に信号を送るため，正確に受信できない可能性がある．そのためできるだけヒット数の少ないFH系列が要求される．１９７０年代後半から，その上界や上界に届く最適なFH系列の構成法が研究されてきた．構成法は主としてM-系列を利用した方法が主流であった．2001年に Fuji-Hara, Miao and Mishima は今までとは全く異なる組合せ理的な構成法を提案した．この方法を使うと，いままでにない長さで最適な系列がたくさん構成できる．組合せ理がFH系列の構成に如何に役立つかを中心に解説する．"

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DNA library screening において、BMMと呼ばれるgroup testを用いる方法が提案されている。本講演では、BMMにおけるテストの回数を削減するためにresolvable grid-blockデザインを用いることを提案し、その効率および構成法についてじる。

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"積型BiCG法の算法では, 収束の加速を目的として, 元の多項式の他に新たに２つの多項式が使われている. それらは, 互いに積型に組み合わされ, それらがベースとなって積型BiCG法は構成されている. 多項式の増加という操作は, 積型多項式の選択の自由度を増した反面, その順序に一貫性を持たせる作業が非常に複雑になった.その結果, 本発表で指摘するように, 算法の一部で積型多項式の順序に錯綜が生じた. 算法中の漸化式の順番では問題がなくても, その元となる多項式の順番では問題になり得る場合が生じた. 本発表では,この順序の逆転が積型BiCG法の収束に及ぼす影響について言及する. "

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対称で非エルミート行列の解法としてCOCG法が有効であることが知られている。本研究では、COCG法の積型解法を提案する。

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連立1次方程式の解法の1つであるBiCGSTAB法は，桁落ちにより誤差が混入すると本来理的には収束するはずの反復回数では解が得られない場合がある．
本研究では，BiCGSTAB法の計算過程において，発生した桁落ちが残差多項式の零に与える影響について考える．
残差多項式は，反復が収束したとき初期残差ベクトルに含まれる固有ベクトルに対する固有値を零にもつ．残差多項式の零は，BiCGSTAB法の内積計算で発生した誤差が混入しても，反復が収束したときの零には影響がないことを示す．いくつかの数値例によって，確かめた結果についても報告する．

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本文では有理関数近似を用いた数値等角写像の計算法について述べる.この方法では代用電荷法を用いた数値等角写像の計算結果を利用し,有理関数近似を用いて新たな電荷を計算することで,より少ない電荷数で同等の精度が得られる電荷配置を求める.問題領域の形状によっては電荷数を削減できる例があることを数値例 によって示す．
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本文では大規模な一般化固有値問題において，その固有値の一部のみを求める方法について述べる．本方法では数値積分を利用することで素平面上で指定した領域内にある固有値のみを求める．そのため減次を必要としない．計算の主要部は複数の連立一次方程式を解くことにあるため，反復解法等を用いることで行列の疎な性質を利用することができる．

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本文では大規模な一般化固有値問題の指定した領域内の固有値を求めるための並列解法を考える．数値積分を利用した固有値解法では，複数の大規模な連立一次方程式を独立に解くことが計算の主要部を占める．本研究ではその計算を複数のCPUで分散して計算することで高速化する方法について述べる．数値実験によってその有効性を確かめる．

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近年、非線形最適化問題を解くための準ニュートン法を大規模な問題に適用できるような工夫として、記憶制限準ニュートン法が注目されている。本発表では、Nocedalの記憶制限準ニュートン法を改良して、大規模非線形方程式を解くための記憶制限準ニュートン法を提案する。これは、セカント条件を拡張した条件を満足するように近似行列が更新されるもので、サイジングのテクニックを組み込むことによって計算効率が良くなることが期待される。また、更新公式に含まれる行列の積形式をうまく利用することによって、提案する解法はNocedalの記憶制限準ニュートン法と同程度にメモリ量を低減することが出来る。

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"非線形最適化問題を解くための共役勾配法は、近年、Gilbert and Nocedal, Dai and Yuan 等によって活発に研究されている。本発表では、Dai-Yuanのアイデアと、Zhang等が提案した修正セカント条件とを組み合わせた共役勾配法のアルゴリズムを提案し、大域的収束性を示す。また、数値実験を通して、その有効性を検証する。"

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問題：２次元正方領域内では、(1)ラプラス方程式を満たし、かつ、(2)与えられたその部分領域では、ソボレフ空間に属する任意の関数値に一致するように、(3)ディリクレ境界値を決定させる問題です。
方法：Successive elimination of lines という我々の差分法の数値計算アルゴリズムを用いる。

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複素分岐では解の仮定を実数の範囲だけでなく、複素数の範囲まで拡張することによって、実数解の経路から分岐する複素数解の経路が存在する。また、この複素経路を追跡すると、遊離する実経路に接続される。本では、複素数の対称分岐に場合を限定し議を行う。分岐解の導出は細野の方法を用い、弧長方程式を変えることにより複素経路に切り替える。また複素経路の追跡には弧長法を用いる。本手法を例題に適用することにより、文献との比較を行い、本手法の有効性を検討する。

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偏微分方程式の解を数値計算により近似的に求める場合、差分法で離散化することにより大規模で疎な正方行列を係数に持つ連立一次方程式が得られる。これを解くための数値計算の反復法の手法として、共役残差法から派生したGMRES(k)法がある。一方、最小二乗問題においては、係数行列は、矩形行列となり、QR分解を用いた直接法による解法や、正規方程式にしてから反復解法を用いる計算法が一般的である。本発表においては、GMRES(k)法のアルゴリズムを最小二乗問題に拡張したものを紹介し、この手法の特徴を示す。

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新たに前処理行列(I+S+Sm+Rn)を提案する．そして，実際問題に対しての前処理付Gauss-Seidel反復法の有効性を確かめる．

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種々の疎行列に対して我々が提案してきた前処理付Gauss - Seidel法を適用して数値実験によってその性能を評価する．

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偏微分方程式を境界要素法の離散化で生成した行列方程式の係数行列は非優対角で非Z-行列であることは良く知られている．したがって，この代数方程式の数値解析としてはGaussの消去法が用いられている．
今回，我々はこのクラスの行列方程式に基本反復法が適用できることを証明した．さらにその妥当性を数値実験で確かめたことを報告する．

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"我々は多項式の求根問題に対して数値積分誤差法 (NIEM) を提案してきた。
関数の対数微分に対して、複素積分の積分路を円周としその上の等分を利用するという NIEM の特性から有限次数解析関数に対しても、NIEM が多項式と全く同様に適用可能であることを示す事ができる。この結果
∑^r_k=1P_k(z)exp(Q_k(z)), (P _k ,Q_k は多項式)
のタイプの解析関数の零が容易に計算可能となる。
講演では手短に理的な説明をするとともに、アルゴリズムとその数値実験結果を紹介し、提案する方法の有効性を示す。"

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"大型疎行列の連立方程式に対する新しい反復並列解法を提案する．提案法は，全体領域をm個の重なりの無い部分領域Ωi(i=1,…,m)に区分し，各々のΩiを囲むように部分領域Ψiを設ける．ただし，各領域は自由度の集合とする．あるΩiでいくつかの線形独立なベクトルを仮定し，これを全体に拡大したベクトルを区分的に値を持つ基底ベクトルと呼び，この基底が張る部分空間をViとする．また，ΨiでΨiの全ての自由度に対応した単位ベクトルを定義し，これを全体に拡大し，この基底が張る部分空間をGiとする．提案法は，Giと(m-1)個のVj,j≠iが張る部分空間で解を近似し，その近似解を用いてViの基底を改良し，これらの操作を各領域で並列にかつ繰り返し行うことにより連立方程式を解く方法である．提案法を矩形領域のポアソン方程式の差分近似に適用したところ，共役勾配法に比べて極めて少ない反復数で安定に収束することが分かった．"

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構造力学において用いられる荷重は、分布力と集中力と集中モーメントの３種類から成る。撓み曲線の微分方程式を適用する場合を考えると、分布力が３種類の代表であると考えるのが合理的である。この場合、集中力はディラック関数を用いて表す。
ディラック関数についての厳密な理・の１つであるSchwarzの理・を、構造力学に適用しようとすると違和感を感じる。ディラック関数を定義するのに区間-∞＜x＜+∞の積分が必要だからである。単純梁のような有限の長さの構造物が扱われるので、有限の世界でディラック関数の定義が完結すべきである。
ディラック関数を用いて集中力を表示するとき、ディラック関数の重要な性質は定積分の集中である。この報告は定積分の集中について・じ、特異・の状態を説明する関数擬値について提案した。

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代数的離散発展方程式とし，特に差分方程式や数値解法アルゴリズムの特異性の除去問題を扱う．昨年のこの会議において，可積分な代数的離散発展方程式は非特異代数方程式（多様体）と
なる条件を満たすことを紹介したが，今回はこの条件を満たすようこれら方程式の積極的な非特異化をブローアップなどを用いて行う方法の試みを示す．数値解法アルゴリズムなどに現れる代数的離散発展方程式は可積分性を持つと，その振る舞いが安定しているなど優れた性質を持つ．ここではその可積分方程式となるための１条件とし，前準備となる数値解法アルゴリズムへの非特異性の導入法の試みを報告する．

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空間内の３粒子が衝突したり直線状に並んだりする配位を特異配位という。回転群の表現を使って波動関数をフーリエ展開する。その波動関数が特異付近で解析的であるということを仮定し、波動関数の振る舞いを考察する。

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空間３体系の特異配位とは、３体が一直線上に並ぶ直線状配位や、３体が衝突する３重衝突配位を指す。空間３体系の波動関数は、回転群の作用に関してフーリエ展開される。フーリエ展開された空間３体系の波動関数を用いて、３体量子系の特異配位における運動エネルギーについて考察した。

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与えられた正方行列Aにランク１の行列を加えた行列に対して、一般基本行列のすでに証明されている処々の性質を利用することにより、正方行列Aにランク１を加えた行列の性質を統一的に解明する試みを紹介する。またそのほか２，３の応用例や分類についても言及する。

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核融合炉のイバータはプラズマからの大量の熱や粒子に耐えるため、炭素系材料やタングステンによって、その表面保護が行われる。核融合炉真空容器内に冷却材が侵入する事象を生じた場合、侵入した水の蒸発に伴って発生する水蒸気とイバータ表面材料とが化学的に反応し、水素等の可燃性ガスを生成することが考えられる。そこで、冷却材侵入事象下で想定される水蒸気と炭素材との化学反応挙動を数値解析によって調べた。化学反応解析は、気相、液相、固相を統一的に解く3次補間擬似粒子法を使って、1000℃の高温環境化下で炭素材表面に水蒸気が一定速度で衝突して水素等が発生する現象の数値的解明に成功した。水蒸気の衝突速度等を変えた一連の解析を行い、核融合炉冷却材侵入時の化学反応挙動を数値的に評価できる見通しを得た。

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"熱対流問題は, その理的, 実用的重要性から, 機械工学, 土木工学, 地球物理など様々な分野で研究が進められており, 近年は多くの数値計算もなされている. 一方で, 無限 Prandtl 数近似を用い, 流れが定常 Stokes 方程式に支配される場合について, 有限要素法を用いた計算スキームの誤差評価を我々が提案するなど, その理的整備も進みつつある. 本講演では, 流れの支配方程式が非定常 Navier-Stokes 方程式の場合に問題を拡張した, 非定常熱対流問題に対する有限要素近似を考え, その誤差評価を行う. 誤差評価では, 移流項から生じる非線形性の評価が重要となる. これにはすでに我々が提案している, 非定常 Navier-Stokes 方程式単独での有限要素法を用いた計算スキームの誤差評価を応用することで対応する. 講演時には提案したスキームによる計算例も紹介する."

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水環境の流れの支配方程式に有限要素法を適用し数値解析を行った例を示す。更に，GPS-float を用いた実験結果と流れの有限要素解析結果を適用して得られる数値シミュレーションの対応について考察する。また，数値解析に必要となるデータの計測方法とその結果も紹介する。

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Claassen らは超伝導体に交流磁場を印加し，超伝導体の下に置いたコイルで検出される電圧スペクトルを計測した．彼らの実験結果によれば，交流磁場の振幅を増加すると，ある一定値以上で電圧スペクトルの第3 高調波が突然励起する．彼らはこの第3 高調波の励起が超伝導体全体での磁束フローを示していると結づけた．
本研究の目的は，Claassen らの結を数値シミュレーションを用いて再現することである．そのためには，Claassen らの実験に近い条件の下で，遮蔽電流密度方程式の初期値・境界値問題を解く必要がある．高次有限要素法及び後退オイラー法で離散化すると，同初期値・境界値問題は各時間ステップで非線形方程式 G(s) = 0を解く問題に帰着する．数値シミュレーションの結果では，超伝導体全体に臨界電流密度が流れるのが，まさに，第3 高調波スペクトルが励起し始める場合と一致した．

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多層ニューラルネットワークを使った弱制約条件データ同化法を用いて不完全な方程式系に従う解の近似を求める方法を提案し、モデルデータを使った数値実験結果を報告する。具体的には、強い非線形性を持つローレンツシステムにおいて一つの方程式がかけている場合について、解の一部が離散的に知られている時に解を求める。今まで為されていた強制約条件データ同化による方法よりも精度の高い解が得られた。

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降旗、松尾氏らによって研究されている離散的変分法は変数係数をもつ場合の非線形偏微分方程式にも拡張可能であることがわかりました。今回はその詳細と数値実験について述べさせて頂きたいと思います。

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(広い意味での)保存則をもつ非線型微分方程式をその保存則を再現する形で数値的に解くことが離散変分法などで可能である. こうした方法に対し，構成されるスキームを高次化したいという要求も強い. しかし，時間方向への高次化は保存則の離散化という本質と直接関わるため難しい問題である. その一因として，線形高次差分等を用いると，一見高次化できるように見えても chain-rule と整合しないというなどが挙げられる.そこでわれわれは，非線型ではあるが微分の chain-rule をその本質において整合する差分法を提案する. 簡単に説明すると，Taylor展開で消去したい項を線形和で消去するのではなく，べき算で消去する方法である. この差分法は離散変分法(の一部)に適用可能であり，問題によっては整合性を失う事なく理的に安定性が証明できることが判明している. 非線型性から生じる問題等については講演時に説明する.

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熱伝導方程式・Cahn-Hilliard方程式などの散逸型偏微分方程式，また波動方程式・非線形Schroedinger方程式などの保存型偏微分方程式に対して，その散逸性・保存性を離散系でも再現する差分スキームを導出する手法＝「離散変分法」を拡張し，時間方向に高次の差分スキームを導出する方法を提案する．

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Keller-Sigel 方程式に代表される自己相互作用粒子系の差分近似を考える。この系の持つ解析的な性質として、質量保存、正値性の保存、Lyapunov関数の存在が挙げられる。この研究の目的は、これらの性質を（もれなく）再現するような差分近似を構成することである。得られたスキームの安定性、収束性を考察するとともに、Keller-Sigel 系の爆発解の爆発後の挙動を調べるために応用する。同時に、がん細胞の成長モデルにも応用をする。

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確率力学系は，力学系に何らかのランムな変数が介在した非自励系と見なせる。非自励系においても，拡張されたエネルギー関数を考えることによって，自励系でしばしば見られるエネルギー保存や散逸といったエネルギー関数の性質を持っている。このようなエネルギー関数の性質を満たすような差分法について講演する。差分法を構成するためには微分におけるチェーンルールを離散化した差分チェーンルールが必要である。ある平均差分の導入によりこの差分チェーンルールを作ることができる。構成された差分法は一般には多段階法である。

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確率微分方程式の数値解の弱い意味での誤差評価，すなわち，平均や分散などのモーメント量による誤差評価がある．弱い意味での誤差評価では，数値スキームの離散化誤差より，標本量に依存する統計誤差が大きいことが知られている．講演では，簡単な確率微分方程式を例に，誤差推定を行いながら，統計誤差について考察する．

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本講演では、経済物理（エコノフィジックス）の研究最前線の様子をレヴューする。需要の安定均衡が物理的にはありえないことなど、裁定機会が存在すること、ミクロな市場価格の変動からマクロなインフレーションの時間発展の方程式を導出することなど、これまでに得られている基本的な成果を紹介する。また、応用研究の現状を踏まえて、今後の展望を議論する。

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人工市場とは文字通り人の手で計算機上に作られた仮想市場のことである。人工市場研究の基礎といくつかの研究事例の紹介を行いたいと思う。

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数理ファイナンスは当初、デリバティブ〈金融派生商品〉の開発のために用いられていたが、デリバティブの広がりと共に、その考え方が浸透、拡散し、今日ではリスク管理の主要な道具と考えられるようになってきた。そのため過剰な期待を背負うことともなり、多くの難問を抱えることとなった。中でも重要な問題として、理論値をどのように具体的に求めるのかという数値計算の問題がある。講演ではまず、ファイナンスの使われ方の現状を説明し、特に数理計算においてどのような問題があるのかということを説明していく。講演後半では現在東工大の二宮氏らと行ってる新しい数値計算の方法の研究について、概説する。

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1980年代半ば以降15年間にわたる、講演者の理財工学〈金融工学〉に関する研究活動を総括する。主な内容は、資産運用に関わる数理計画モデル〈平均·分散モデル、平均·絶対偏差モデル、株式·債券総合モデルによる国際分散投資、取引コストの下でのポートフォリオ·モデルなど）と、信用リスク計量モデル（企業の倒産判別、倒産確立推計〉などである。
なお、ファイナンスと接点がない人々にも分かるような話をしたいと考えている。

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金融における数理技術の代表的な実務例に年金数理がある。本講演では、年金数理の現状を紹介し、今後の期待される数理技術についてずる。

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多重調和関数を用いたモーフィング手法を示す．多重調和関数は距離Rの関数であり， Radial Basic Function の一種である．多重調和関数を用いて自由曲面からなる三次元形状を定義する方法は既に示している．本手法ではパッチを指定する必要がなく，三次元立体の表面を指定するだけで，自由曲面からなる立体を定義することができる．また，は碁盤目状に指定する必要がなく，任意の群を使用することができる．なお，表面を全く指定していない部分があってもよく，その部分は滑らかな自由曲面で繋がれる．本手法はメタボールを用いる方法と類似する部分もあるが，指定した表面を必ず通る自由曲面で立体が構成される利がある．また，本手法は，多次元補間法の一種であり，数値積分法や数値解析法にも活用することができる．

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"The purpose of the present study is to provide information about the motion of cars in a real cruise to develop an automatic car cruise system by Nissan motor company. A real time video of 45 seconds is employed to simulate the cruise. Video capture is discretized into time intervals and those snapshots are used to obtain motion history of the each moving object in the video by choosing several references in each snapshot. The time history of displacement, velocity and acceleration of the moving objects are employed to reconstruct the cruise in computer by using animation technology to feed the information to designers."

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車載用機器としての画像処理システムは，車載性，コストなどの制約から画像処理環境に大きな制限を受ける．こうした環境下で，先行車を正確に検出しようとすると誤検出と非検出の排除が重要な技術課題となる．講演では，カメラベースのシステムにおいて誤検出・非検出の発生要因を整理し，統計的な手法や知識の適用などにより上記誤検出・非検出を減少させる手法を提案する．実験車によって評価し，その有効性を見出した．

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研究では表面再構成の手法の一つであるCSRBF(Compactly-Supported Radial BasisFunctions)を用いて気象データのような大規模データの動画像表示を短時間で行うことを提案している。気象データの特徴としてのように表示形状が複雑であること、データ量が大規模であることが挙げられる。本研究では、CSRBFと所謂両サイドアプローチを組み合わせてのような複雑な形状の表示を可能にした。次に、データ量が大規模であること、改良したCSRBFを用いることにより計算量が増大してしまうという問題を反復法であるGMRES法で解き、PCクラスタ８台による並列計算を行うことにより解決した。

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"In this paper we present an overview of geometric deformation techniques based on using radial based functions (RBFs). A challenging goal in computer graphics (CG) and computer aided design (CAD) is to provide powerful technique for modeling the shape of an object. Indeed, when we are using only generic properties such as position of a point of the object that is deformed the problem of constructing smooth surface satisfying certain constrains can be formulated as a mapping function from R^3 to R^3. Such space mapping techniquebased on RBFs is a powerful tool, which offers simple and quite general control of simulated shapes. In general, a model of extended space mapping incorporates geometric space mappings and function mappings. A comprehensive overview of related works, problems and limitations are given in the report. The approach is illustrated by CG and CAD examples."

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"A set of software tools that use compactly supported radial basis functions (CSRBFs) to process scattered data is proposed in this paper. Due to the special algorithms implemented in this study, the resulting software enables to handle large data sets in a reasonable time for such applications as reconstruction of functionally defined geometric objects, surface retouching, and shape modifications (animations). In this work we sum up our approach and highlight some effective applications. Computational complexity of the algorithms is investigated and various examples of applications are given."

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Initially Characteristic topology Method (CTM) was proposed for objects topologically the ball to generate quadrilateral meshes on it without self-intersections if dual cycles. The last condition for the surface meshes is necessary for further hexahedral mesh generation according to Hannemann's approach called Dual Cycle Elimination Method. The CTM itself determines three kinds of template that help to generate basic dual cycles and satisfy mentioned requirements. The way of template application allows topology different from the ball such as a surface with arbitrary number of wholes. This property encourages investigating 3D space and solid mesh for complex objects without its decomposition. The coarse and dense parts of the meshes can be defined form nodal structure and generation of additional characteristic dual cycles for each basic dual cycle. The combination of the latter dual cycle for different basic ones provides verity of local mesh structure that one may choose due to demand for further analysis

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"We formulate an optimal estimation process in a stochastic growth model with an unknown true probability model. When the only available information is a sample realization generated by a stationary and ergodic stochastic process, we prove that the optimal estimation process based on likelihood-?hspace{0pt}increasing behavior converges to the true probability measure. Moreover, we show that the likelihood-?hspace{0pt}increasing estimate (LIE) defines a transition function on the sample space, and the probability measure that dominates an estimation set is an invariant distribution of the LIE."

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Abraham Wald was the first who solved the existence problem in economics. After a couple of years, John von Neumann succeeded in the existence proof of the balanced growth of a multi-sectoral economy, The publication of these two papers should be regarded as a starting point of the axiomatization of economics. The movement towards an axiomatization in economics took place only in Vienna. We must not dismiss the intellectual backgrounds in Vienna, which could be classified under the following aspects; (a) the research in economics, (b) Hilbert's philosophy on the foundations of mathematics, (c) the Vienna Circle's Philosophy of science, and (d) the development of convex analysis, In this talk, we shall examine how the interplay of these factors stimulated Wald to the existence proof.

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